土 9
さ
犬
14.4. 確率と漸化式
確率を直接求めるのが難しくても,確率に関する漸化
式を経由すると簡単に求まることが少なくありません.
例題 13-
サイコロ1個をn回投げて, 3の倍数の目が奇数回出
る確率をn とする. このとき,以下の問いに答えよ .
(1) Pn+1 をPnを用いて表せ。
(2) Pnnの式で表せ (17 甲南大/一部変更)
漸化式を立式するときは
SA DI
排反ですべてを尽くした場合分け
をするのが大原則です.n 回後に3の倍数の目が奇数回
か,偶数回かで場合分けしましょう。
解
(1) n+1回後に3の倍数の目が奇数回出るの
返
は, n回後に3の倍数の目が
(i) 奇数回出て(確率pn), n+1回目に3の倍数が
出ないとき(確率 4/6),
(i) 偶数回出て (確率 1-pm), n+1回目に3の倍数
が出るとき(確率2/6)
のどちらかであるから,
2 1
82Pn+1=Pn1+(1-pm)
6
(1+pn).………①
6 3
2
(2) a=/(1+α) でαを定める。 ①-②より、
3
1
Pori-α= (De-a)
:.
pe-a-(+)" (-a).
3
a=1/20より、po-12 (1-11)
Pn
最初は0回なので, po=0 です. 確率の漸化式
では、このようにpo を初項だと考えると,計算がラ
クになることが少なくありません。
