1
X
例題 6.5
(1) 単位円の上の2点P(cosa, sina),Q(cos β, sin β)とする.
△OPQに余弦定理を用いて,次式を導け.
(2) (1) の結果から,次を導け、
cos(a-3): = cos a cos 3 + sin a sin 3
一方,
sin(a + 3) = sin a cos 3 + cos a sin 3
tan(a -3):
(1) △OPQに余弦定理を用いると
PQ² = OP² + OQ²-20P OQcos(a − 3)
= 1 +1 -2.1 1cos(a - 3)
= 2-2cos(a - B)
tan atan 3
1+tan a tan 3
PQ² = (cosa - cos 3)² + (sina - sin 3)²
= cos² a + sin² a + cos² 3+ sin²3-2(cos a cos 3+ sin a sin 3)
= 2-2(cos a cos 3 + sin a sin 3)
① ② から cos (a-β)=cosa cosβ + sin a sin β が成立する.
(2) (1) の結果を利用すると,
sin(a + 3) = cos(90° - (a + 3)) = cos((90° - a) - 3)
= cos(90° - a) cos 3+ sin(90°- a)sin 3
= sin a cos 3 + cos a sin 3
が得られるので,これより,
したがって,
sin(a− 3) = sin(a + (-3)) = sin a cos(-3) + cos a sin(-3)
= sin a cosß- cos a sin 3
tan(a − 3):
||
sin(a - 3)
cos(a -3)
sin a cos
cos a cos
cos a cos 3
cos a cos 3
+
sin a cos
cos a cos
cos a sin 3
cos a cos
sin a sin 3
cos a cos
- cos a sin 3
+ sin a sin 3
§6 三角関数 (1)
tan a - tan 6
1+ tan a tan 3
O
P
Q
93
I
( 証明おわり)
(証明おわり)
