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第65 3次方程式が2重解をもつ条件
例題
105
水方屋式で+(a-2)x-4a=0 が2重解をもつように, 実数の定数aの値を定
O((類東北学院大]
めよ。
捜素数とした。そ
っている(このこ
基本 63
方程式(x-3)(x+2)=0 の解x=3を,この方程式の 2重解 という。 また, 新武
方程式(x+2)°(x-2)=0 の解x==2を,この方程式の 3重解 という。
方程式が(x-a)(x+ px+q)=0 と分解されたなら,2重解をもつ条件は
ロ%3Dx
[1] x°+px+q=0が重解をもち,その重解は xキα
121 x+ px+q=0がαとa以外の解をもつ。
→2重解は x=α
2章
であるが,一方の条件を見落とすことがあるので,注意が必要である。
なお,[1] は,2次方程式の重解条件と似ているが, 重解が xキαである(x=aが3重解で
11
女の和·差·積、
三た複素数である
複素数を係数と
式について, 割
等式が成り立つ。
高
はない)ことを必ず確認するように。
の
次
方
程
式
えられた3次方程式の左辺をa について整理すると
次数が最低のaについて
整理する。また
P(x)=x°+(a-2)x-4a
とすると P(2)=0
n次式。
さ立 ース) 8
(x-4)a+x°-2x=0
(x+2)(x-2)a+x°(x-2)=0
(x-2)(x°+(x+2)a}=0
(x-2)(x+ax+2a)=0
x-2=0 またはx°+ax+2a=0
ー よって, P(x) はx-2を因
数にもつ。
これを利用して因数分解し
天爪
p-giも
よって
てもよい。一
0-3+88-
この3次方程式が2重解をもつのは,次の[1] または [2] の場
に対し
合である。
D+ax+2a=0 がxキ2の重解をもつ。
利別式をDとすると
a
キ2
2-1
(2次方程式
D=0 かつ
めてみよ。
Ax?+Bx+C=0 の重解は
D=d-4-1-2a=a(a-8)であり, D=0とするとa=0, 8 (-)B】
(1-)(1 2A)(1-)
X=ー
a
ここで, -+2 から
aキー4
2-1
=0, 8はaキー4を満たす。
|+ax+2a=0 の解の1つが2で,他の解が2でない。
2が解であるための条件は
これを解いて
このとき,方程式は
したがって
8-キ1-0 )-ネー=
[2] 他の解が2でない,とい
う条件を次のように考えても
よい。 に分け+ 7
他の解を8とすると, 解と
係数の関係から 28=2a
Bキ2から aキ2
て
22+a-2+2a=0
10
a=-1
(x-2)(x?-x-2)=0
(x-2)(x+1)=0
等式の花
えに,x=2は2重解である。
以上から
0が得しれる
星であ
a=-1, 0, 8
aを実数の定数とする。3次方程式x°+(a+1)x-a=0 (
50のが2重解をもつように, aの値を定めよ。
…… 1 について
い。
11が異なる3つの実数解をもつように, aの値の範囲を定めよ。
