EX
$95
属する最小の正の整数をdとするとき
とき最大値 72
関数であるから、軸に近
いほど値が大き
a,bは0でない整数の定数とし, ax + by (x, y は整数) の形の数全体の集合を M とする。 Mに
(1)Mの要素は,すべて dで割り切れることを示せ。
(3)
(2) dはa,bの最大公約数であることを示せ。
a,b が互いに素な整数のときは, as+bt=1 となるような整数s, tが存在することを示せ。
(ax+by)のおきかえ、
(1) dEMであるから,d=as+bt (s, tは整数)とする。
ax + by をdで割った商を α,余りをrとすると,
ゆえに
ax+by=gd+r=g(as+bt)+r, 0≦r<d
[類 大阪教育大, 東京理科大、中央大 ]
とりあえず式の形を
<ポイント
r=ax+by-g(as+bt)=a(x-gs) +b(y-qt).
x-gs, y-gt は整数であるから
TEM A
ax+ly
e8
作ってみる。
←A=BQ+Rの形。
二関係にば
の形と
ならない
0≦x<dであるから,r=0であれば,dがMに属する最小の正r=0のとき、0<x<d
よって
の整数であることに反する。
=0
すなわち, ax + by はdで割り切れる。
(
Mに属しているなら
あまり出ない
A) (18)
から,rはdより小さい
正の整数となる。
