基本例題150 対数微分法
次の関数を微分せよ。
(x+2)^
(1) y=2x(x+1)
針 (1) 右辺を指数の形で表し, y=(x+2) x(x+1)として微分することもできるが計
算が大変。 このような複雑な積・商・累乗の形の関数の微分では,まず,両辺(の絶対値)
の自然対数をとってから微分するとよい｡
解答
(1) 両辺の絶対値の自然対数をとって
よって
(2)y=x* (x>0) (マルチ]
◆積は和, 商は差, p乗はか倍となり、 微分の計算がらくになる。
(2) (x)=x-1 や (α*)'=a*loga を思い出して,y'=xxx=x*またはy=x*log x と
するのは誤り! (1) と同様に, まず両辺の自然対数をとる。
CHART 累乗の積と商で表された関数の微分 両辺の対数をとって微分する
log|x|=1/28(410g|x+2|-210g|x|-10g(x+1)}
* = (-42-²-²₁)
y′_1
y
xC
両辺をxで微分して
y=1/3
(x+2)4
1
-2(4x²-x+2)
3
=
3 (x+2)x(x2+1) V x2(x2+1)
●
2x
2 (4x2-x+2) 3
x+2
3x (x2+1) Vx2(x+1)
3\x+2
14x(x2+1)-2(x+2)(x2+1)-2x2(x+2)
(x+2)x(x2+1)
x2+1
00000
〔(2) 岡山理科大]
y
基本 149
10ga
|y|=3
として両辺の自然対数をと
る (対数の真数は正)。
なお、 常に x2 +1 > 0
M
N
|x+2|4
x2(x2+1)
対数の性質
loga MN=loga M+loga N
-=10ga M-10ga N
loga M-kloga M
(a>0, a 1, M>0, N>0)
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5章
20
三角、対数、指数関数の導関数
