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xの4次方程式
x*+ (a-2)x° + (2-2a)x° + (aー2)x+1= 0
について, 次の間に答えよ。 ただし,aは実数の定数とする。
(1) (*) は, aの値によらず, x=1 を解にもつことを示せ。
(2)(*)の異なる実数解の個数が2となるとき, aの満たす条件を求めよ。
(名城大 改)
(1) x=1 を方程式の左辺に代入すると
1+(a-2)+(2- 2a) +a-2+1=0
よって, (*) はaの値によらず,x=1 を解にもつ。
P(x) = x* + (a-2)x+(2-2a)x+ (a-2)x+1
とおくと,(1)より P(x) はx-1を因数にもつ。
P(x) を x-1で割った商は
11a-2 2-2a
+) 1 a-1 -a+1 -1
a-2 1
1a-1 -a+1
-1 0
x°+(a-1)xー (a-1)x-1
P(x) = (x-1){x+(α-1)xー(a-1)x-1}
よって
さらに,Q(x) == x°+ (a-1)x°ー(a-1)x-1 とおくと
Q(1) = 1+ (a-1)- (a-1)-1=0
ゆえに,Q(x) はx-1を因数にもつ。
Q(x)をx-1で割った商は
よって
したがって
P(x) = 0 の異なる実数解の個数が2となるのは,次の (ア), (イ) の場
合がある。
(ア) x+ ax+1=0が1と1以外の実数解をもつとき
x=1 を代入すると,a+2=0 より
11a-1 a+1-1
a 1
0
1
1
1
x°+ ax +1
Q(x) = (x-1)(x°+ ax+1)
P(x) = (x-1)°(x°+ ax+1)
a
a1は安器の負表
aニ-22結。
3?
a=-2
このとき,方程式は x°-2x+1=0 となり
(x-1)° = 0
よって,重解 x=1をもつから,不適。
イ) x+ ax+1=0 が1以外の重解をもつとき
判別式をDとすると
重解は実数解である。
D=d°-4=0
よって
a= ±2
a=2 のとき
代入すると
(x+1)° = 0 より, 1以外の重解x=-1 をもつ。
a=-2 のとき
(ア)より不適。
したがって, 求める aの満たす条件は
*a=2 のとき
P(x) = (x-1)°(x+1)?
となり P(x) = 0 の解は
x= 1, -1
2+2x+1=0
a=2
