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基本 例題 60 関数の連続性と微分可能性
00000
関数f(x)=x2|x-2|はx=2において連続であるか, 微分可能であるかを調べ
よ。
/p.106 基本事項 重要 62
A
f(x) が x=αで微分可能微分係数 lim
これらの極限について調べる。
指針 f(x) がx=α で連続limf(x)=f(a) が成り立つ p.97 基本事項 1
f(ath)-f(a)
が存在する。
f(x) はx=2の前後で式が異なるから、 例えば連続性については,右側極限
x2+0, 左側極限x → 2-0 を考え,それらが一致するかどうかを調べる。
lim f(x)
x2+0
解答
= limx2(x-2)=0
x2+0
lim f(x)
x-2-0
lim{-x(x-2)}=0
=
20
また,f(2)=0であるから
Timf(x)=f(2)
x2
よって, f(x) はx=2で連続である。
y
y=f(x)
A (A≧0)
<|A|=|
-A (A<0)
を用いて, 絶対値をはず
す。
0
21
x
f(2+h)-f(2)
(2+h)²h-0
次に
lim
lim
ん→+0
h
ん→+0
h
=lim(2+h)=4
------
ん→+0
f(2+h)-f(2)
lim
=lim
0-14
h
h1-0
(2+h)2(-h)-0
h
=lim{-(2+h)}=-4
h--0
ん → +0 とん → 0 のときの極限値が異なるから,
f' (2) は存在しない。 すなわち, f (x)はx=2で微分可能
ではない。
微分可能連続の利用
mil
3章
微分係数と導関数
f(2+h)=(2+h)^|h|
ん→+0のときん>0
ん→-0のときん<0
に注意して, 絶対値をは
ずす。
f(x) がx=αで微分可能 x=α で 連続
A
討
が成り立つ。 よって、上の例題のような問題では,微分可能性から
先に調べてもよい (「微分可能」 がわかれば, 極限を調べなくても
「連続である」 という結論を出すことができる)。
・連続
微分可能
また,Aの対偶 「f(x) がx=αで連続でないx=αで微分
可能でない」 も成り立つ。
練習 次の関数は、x=0において連続であるか, 微分可能であるかを調べよ。
60
(1) f(x)=|x|sinx
0
(x=0)
(2) f(x)=
x
(x=0)
[ (1) 類 島根大 ]
1+2
p.115 EX48
