数3の極限です 下線部のところで、たぶん「等比数列の和」が使われてると思うんですけど、「無限等比級数の和の公式」をつかってはいけないのはなんででですか？

60 基本 例題 31 2つの無限等比級数の和 00000 無限級数 (1-2)+(3-2)+(323-21)+ の和を求めよ。 p.54 基本事項 4.基本26 CHART & SOLUTION Hom C 無限級数 まず部分和 Sn この数列の各項は() でくくられた部分である。 部分和 Sm は有限であるから, 項の順序 を変えて和を求めてよい。 注意 無限 の場合は,無条件で項の順序を変えてはいけない (重要例題 32 参照)。 an 別解 無限級数 24, 20mがともに収束するとき n=1 n=1 00 解答 n=1 bm が成り立つことを利用。 n=1 n=1 初項から第n項までの部分和をS とすると (+++) (+ ++ S=(1+/+/3/3+ 1-(1)/1-(12) 1-1 =1 1 1- 2 lim S= -231-1-1/2 であるから,求める和は 1/2 12-00 別解 (1-1)+(1/3-2/2)+(1/2-2/2)+(1/2) 1 Σ3-1 n=1 n=1 -は初項1,公比の無限等比級数であり, 3 21/1は初項 1/2.公比 1/2の無限等比級数である。 ← S は有限個の和である から, 左のように順序を 変えて計算してもよい。 n→∞の [inf. → 0. 0 無限等比級数の収束条件は a = 0 または |r|<1 a n 公比について、1/31 12 <1であるから,これらの無 限級数はともに収束して、それぞれの和は このときは 1-r ←収束を確認する。 1 3 n=137-1 2 1 23 1 n=12n 3 1 |1|2 00 n=1 on-1 よって (3/12/28-1/2-1-1/2 PRACTICE 31° 次の無限級数の和を求めよ。 (1) (1+1)+(1/3+3)+(3/3+3)+ 32-2 33-22 34-23+.... (2) + 4 + 43

（2）の下線部はどういう変形なんですか、？教えてもらえると助かります！

2章 重要 例題 69 球面の方程式 (2) (1)次の方程式はどんな図形を表すか。 x2+y2+22+6x-3y+z+11=0 (2) 4点(0,0,0) (600) (04, 0, 0, 0, 8) を通る球面の中心の 座標と半径を求めよ。 CHART & SOLUTION 球面の方程式(x>0,A'+B'+C> 4D とする) p.122 基本事項 1 中心が (a, b, c) 半径がr(x-a)+(y-b)+(z-c)2=r2 2 一般形 x+y+22 + Ax + By +Cz+D=0 (1)(x-a2+(y-b)2+(z-c)2=r2の形に変形する。 (2)条件の4点の座標に0が多いから、2の一般形から求めるとよい。 そして, (1) のよう に変形する。 6 座標空間における図形, ベクトル方程式 (1) 与えられた式を変形すると (x+6x+3)+{y-3y+(1/2)}+{2+2+(1/2) (1)x,y,zの2次式をそ れぞれ平方完成する。 0= 3 =-11+32+| +32 +(1/2)+(1/2)2 ゆえに (x+3)+(2)+(z+/12)-(12/12) 平方完成の際に加えられ た定数項を右辺にも加え る。 したがって 中心(-3.1428-1/12) 半径 1/12 の球面 (2) 球面の方程式を x2+y2+22 +Ax+By+Cz+D = 0 と すると ②の方針。 ゆえに A=-6, B=-4,C=8 したがって, 球面の方程式は D = 0, 36+6A+D = 0, 16+4B+D = 0, 64-8C+D=04点のx座標, y 座標, Z座標をそれぞれ代入 する。 x2+y+z2-6x-4y+8z=0 これを変形して よって (x2-6x+32)+(y2-4y+22)+(z2+8z+42)=32+2+42 (x-3)2+(y-2)+(z+4)=(√29) ゆえに 中心の座標は (3, 2, -4), 半径は 29 inf. この問題の場合, 中 心の座標を (a, b, c) とし て,中心と4点の距離が等 しいことから求めてもよい。 PRACTICE 69 (1) 方程式 x2+y+z-x-4y+3z+4=0 はどんな図形を表すか。 (2)4点0(0,0,0), A(0, 2, 3),B(1, 0, 3), C(1,2,0) を通る球面の中心の座標 と半径を求めよ。 [(2) 類 九州大]

ベクトルです。判別式のところの不等号の向きがなぜD<0になるのか教えて欲しいです

重要 例題 21 ベクトルの大きさと絶対不等式 ののののの ||=1, |6|=2, 4.1 = √2 とするとき,ka+t6>1がすべての実数に対 して成り立つような実数kの値の範囲を求めよ。 基本18 CHART & SOLUTION 1章 3 は として扱う |ka +t6>1は|ka + top > 12 いての2次式)>0 の形になる。 ①と同値である。 ①を計算して整理すると, (tにつ ベクトルの内積 この式に対し,数学で学習した次のことを利用し,kの値の範囲を求める。 tの2次不等式 at2+bt+c>0 がすべての実数について成り立つ 解答 ⇔a>0 かつ b2-4ac <0 16663 |ka +t6≧0 であるから,ka+t |>1は |ka+t>1 A> 0,B>0 のとき A>B⇔ A2> B2 ①と同値である。 ここで |ka+top=kalak+2kta +12190 |a|=1, ||=2, a1=√2 であるから Bam 10|ka+to²=k²+2√2 kt+4t² 0800 &0 問題の不等式の条件は よって, ① から k2+2√2kt+4t2>1 3(82) A0 (x)=0J すなわち 4L2+2√2 kt+k-1>0 ② ② がすべての実数tに対して成り立つための条件は,tの2 次方程式 4t2+2√2kt+k-1=0 の判別式をDとすると, ②がすべての実数 t に 対して成り立つこと。 t2の係数は正であるから D<O>じゃね? ←D<0 が条件。 =(√2k)-4×(k-1)=-2k+4大量 -2k²+4<0 ゆえに ここで 4 よって したがって INFORMATION k2-20 k<-√2,√2<h 2次関数のグラフによる考察 ? (k+√2)(k-√2)>0 上の CHART & SOLUTION で扱った絶対不等式は,関数 y=at2+bt+c のグラフが常に 「t軸より上側」 にある, と して考えるとわかりやすい。 y=af+bt+c 0 t + [a>0かつピー4ac < 0]

欄外で矢印引いたとこ、なんで階差数列とわかるんですか？？

基本 例題 35 an+1= pan+(nの1次式) 型の漸化式 a=1, an41=3an+4n によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。 ・基本 34 p.464 基本例題 34の漸化式an+1=pan+g で, gが定数ではなく、nの1次式となっ ている。このような場合は, n を消去するために 階差数列の利用を考える。 → 漸化式のnをn+1とおき, an+2 についての関係式を作る。これともとの漸化式 との差をとり、階差数列{an+1-an}についての漸化式を処理する。 また、検討のように, 等比数列の形に変形する方法もある。 CHART 漸化式 α+1=pan+(nの1次式) 階差数列の利用 an+1=3an+4n とすると an+2=3an+1+4(n+1) (2) ②①から an+2-an+1=3(an+1-an)+4 bn+1=36+4 an+1-an=bn とおくと これを変形すると bn+1+2=3(6+2) ○ また b1+2=az-a1+2=7-1+2=8 よって、数列{bn+2} は初項 8,公比3の等比数列で b+2=83-1 すなわち 6m=8312 (*)」 n≧2のとき n-1 an=a1+(8.3k-1-2)=1+ k=1 8(3-1-1) 3-1 -2(n-1) =4.3"-1-2n-1 ③ 468 ①のn に n+1 を代入す ると②になる。 差を作り, n を消去する。 <{bn}は{an}の階差数列。 <a=3a+4から α=-2 a2=3a1+4・1=7 469 <n≧2のとき で n-1 an=a1+2bk k=1 階 n=1のとき 4・3°-2・1-1=1 a=1であるから, ③はn=1のときも成り立つ。 したがって an=4.3-1-2n-1 ①初項は特別扱い (*)を導いた後, an+1-an=8•3-1-2に①を代入して am を求めてもよい。 DANNIRomic 1 章 漸化式数列 き す 本 {(n+β)} を等比数列とする解法 例題はan+1=pan+(nの1次式)の形をしている。 そこで,f(n)=an+βとして, ・・A の形に変形できるようにα, β +1=3a+4nが, an+1-f(n+1)=3{an-f(n)} の値を定める。 ⑩から ゆえに an+1_{α(n+1)+B}=3{an-(an+B)} an+1=3an-2an+α-2β これとan+1=3an+4n の右辺の係数を比較して α=-2, β=-1 -2a=4, a-2ẞ=0 ゆえに f(n)=-2n-1 したがって an=4.3" -2n-1 ⑩より、数列{an- (−2n-1)}は初項 α1+2+1=4, 公比3の等比数列であるから an-(-2n-1)=4・3"-1

この式変形を教えてください！！

K=1 2 (15-4+1)= 15 (41) 4-1 ?

特製方程式の解に1が入るか入らないかで階差数列か、等比数列が変わる理由がわかりませんなぜですか？

476 基本 例題 41 隣接3 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を (1) a1=0, a2=1, an+2=an+1+6an (2) a1=1, a2=2, an+2+4an+1-5an=0 P.475 基本事項 基 次の条件に。 指針 まず 2 を x2, Qn+1 を x, an を1とおいたxの2次方程式 (特性方程式) その2解をα, β とすると, αキβのとき an+2-αan+1=B(an+1-aan), an+2-Ban+1=α (an+1-Ban) が成り立つ。 この変形を利用して解決する。 を解く、 A (1) 特性方程式の解は x=-2,3→解に1を含まないから,Aを用いて 表し,等比数列{an+1+2an}, {an+1-3a}を考える。 (2) 特性方程式の解は x=1, -5→解に1を含むから,漸化式は 2通りに an+2-Qn+1=-5(an+1-an) と変形され, 階差数列 を利用することで解決できる。 (1) 漸化式を変形すると 解答 an+2+2an+1=3(an+1+2an) an+2-3an+1=2(an+1-3an) ①, (2) ①より, 数列{an+1 +2an} は初項a2+2a1= 1, 公比3の 等比数列であるから an+1+2an=3n-1 ②より, 数列 {an+1-3an} は初項a2-3a1=1, 公比 -2 の等比数列であるから an+1-3an= (-2)"-1 5an=3n-1-(-2) -1 ③④から したがって an= -{3"-1-(-2)"''} ...... x2=x+6を解くと, (x+2)(x-3)=0 x=-2,3 α=-2,B=3として指 針のAを利用。 指針 特性 a と変 よっ これ ①C an a' 漸化 ゆえ 解答 公 ar 両 22 an+1 を消去。 数 Paco x2+4x-5=0を解くと、 カ (2) 漸化式を変形すると an+2-an+1=-5(an+1-an) ゆえに、数列{an+1-an} は初項a2-a1=2-1=1, 公比 -5の等比数列であるから an+1-αn=(-5)"-11 よって, n≧2のとき an=as+2(-5)=1+1・{1-(-5)"-1} k=1 (7-(-5)*) 1-(-5) n=1 を代入すると, 1/3(7-(-5)}=1であるから,上の 式はn=1のときも成り立つ。 したがって an a=(7-(-5)"} (x-1)(x+5)=0から x=1, -5 別解 漸化式を変形して an+2+5an+1=an+1+5a よって an+1 +5an =an+5an-1 ......=a2+50=7 an+1+5a=7を変形して +1-7—7— = -5 (ax-7) an+1- ゆえに 6 an an-17-(1-1)-(-5)** .. 6 an=(7-(-5)) 練習 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。 ③41_(1) a=1, a2=2, an+2-2an+1-3an=0 (2)a=0, a2=1,50ml) 検討 続

これってどうやって値を求めるんですか？

0034=? 6

技術の製図の単元で質問があります💦 キャビネット図の書き方では「奥行きを二分の一にして書く」と習い、実際にキャビネット図の問題を解こうとしたら「寸法は、15mmとしてかく。」と注釈がつけてあって... 15mmを二分の一にすると7.5mmになるのですが、製図でここまで細... Read More

この等式って成立しないですよね？

sin (ate) = sind sing.

cosθはなんで＝0になるんですか？ 解説お願いします！！

-1 10 cos00より 0= π sin0= 11/1より 0= 6 2777 3256 N/W 16 π 1 x 18 π 以上から、 解は 0= TC 6 πC 5 (2)不等式から 整理すると ゆえに 2'6 π, 2 cos2 0-3 cos 0+1≧0 (cos 0-1) (2cos 0-1)≧0 3 2 π 2 cos20-1-3cos0+2≧0 0≦0 <2πでは, cos 0-1≦0 であるから yA 1 cos0-1=0, 2cos0-1≦0 5 π T よって cos0= 1, cosm 3 e したがって,解は π 30 -1 11 2 x 0=0, ≤0≤ 3 5 3 ( + 22 0≦0<2πのとき,次の方程式、不等式を解け。 5 (1) sin 20-√2 sin0=0 (3) cos 20-sin 0≤0 33 (2) cos 20+ cos0+