00000
媒介変数によって, x= 4 cost, y=sin2t0sts と表される曲線とx軸
で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
指針
2
重要 110 重要 183
媒介変数を消去して y=F(x)の形に表すこともできるが, 計算は面倒になる。
そこでx=f(t), y=g(t) のまま, 面積Sを置換積分法で求める。
① 曲線とx軸の交点のx座標 (y=0 となるtの値)を求める。
② tの変化に伴う, xの値の変化やyの符号を調べる。
3面積を定積分で表す。 計算の際は、次の置換積分法を用いる。
s=Sydx=Sg(t)f(t)ata=f(a), b=f(B)
π
0≤t≤
=
2
①の範囲で y= 0 となるtの値は
解答
晶検討
t=0.
π
2
また、①の範囲においては,常に y≧0である。
x=4costから
よって
y=sin2t から
dx
=-
-4sint
dt
dx=-4sintdt
・=2cos2tであり、
-
dy
π
dt
t
0
4
dy
=0 とすると
dx
dt
0
dt
π
t=
=4
x
4
4
ゆえに、右のような表が得
られる ( は減少, は増
dy
+ +
20
dt
0
y
K
:
T
π
2
2√20
1
-
0
xtの対応は次の通り。
←01
x
TC
2
4 → 0
また、tsでは20
であるから, 曲線はx軸の
上側の部分にある。
面積の計算では、積分区間
•
・上下関係がわかればよい
から増減表や概形をかか
なくても面積を求めること
はできる。 しかし、概形を
調べないと面積が求められ
ない問題もあるのでその
ときは左のようにして調べ
る。
(*) 重要例題110のよう
↑ を用
