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重要 例題 178
曲線の長さ (2) 動する
円 C:x2+y2=9 の内側を半径1の円Dが滑らずに転がる。 時刻tにおいて、
Dは点 (3cost,3sint) で Cに接している。が
(1) 時刻 t=0 において, 点 (3, 0) にあったD上の点Pの時刻 t における座
2
標(x(t),y(t))を求めよ。ただし, Osts πとする。
(2) (1) の範囲で点Pの描く曲線の長さを求めよ。 MC [類 早稲田大] 基本177
CHART & SOLUTION
(1) ベクトルを利用。 円Dの中心をQとするとOP=OQ+QP (Oは原点), 更に円Dと
円Cの接点をTとすると, QP と x軸の正の向きとのなす角はt-∠PQTIVA
(2) 求める長さは3{x(t)}+{y'(t)} dt
解答
(1) A(3,0),T(3cost, 3sint) とする。
yhiap
th
YA
C
2
DとCがTで接しているとき, Dの中心Qの座標は
(2cost, 2sint) である。また, TP=TA=3t より
3
D
T(3cost, 3sint)
2.
3t
2t 3
0
A
X
∠PQT =3t であるから, QP がx軸の正の向きとな
角はt-3t=-2t
OP=OQ+QP
0を原点とすると
-=(2 cost, 2 sint)+(cos(−2t), sin(-2t))
=(2cost+cos2t, 2sint-sin2t)
(2)x'(t)=-2sint-2sin2t, y'(t)=2cost-2cos 2t から
{x'(t)}+{y'(t)}=4(sin't+2sintsin2t+sin22t)
2
+4(cos't-2costcos2t+cos22t)
=4(2-2cos3t)=16sin2/23t
osts/3であるから sin t≥0
よって, 求める曲線の長さは
16 sin²t dt=
20
3
4sin tdt
=4•
- COS
3.1
xb (e
==
16
3
inf. 半径, 中心角の
弧の長さは20
■ sin 20+cos20=1
costcos 2t-sintsin2t
= cos(t+2t)
C1X0
inf.x' (t)
=-2sint(1+2cost) <0
(01/22)より、x(t)
は積分区間で単調に減少す
るから,Pは曲線上の同じ
部分を2度通ることはない。
PRACTICE 1789
