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17 [学習院大] a b を実数とする。 3次方程式x3-3ax2+a+b=0が3個の相異なる実数解をもち、 そのうち1個だけが負となるための a, b の満たす条件を求めよ 。 また,その条件を満たす点 (a, b) の存在する領域を αb 平面上に図示せよ。

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22 [滋賀医科大] 赤色、青色,黄色の箱を各1箱, 赤色、青色,黄色の球を各1個用意して, 各球を球と同 じ色の箱に入れる。 この状態からはじめて、 次の操作をn回 (n≧1) 行う。 (操作) 3つの箱から2つの箱を任意に選び、その2つの箱の中の球を交換する。 (1) 赤色の球が赤色の箱に入っている確率を求めよ。 (2) 箱とその中の球の色が一致している箱の個数の期待値を求めよ。

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|21| ある電球について,温度が60℃のとき,この電球が点灯し続ける時間は、100℃のとき の16倍であることがわかっている。 100℃の温度において,この電球100個が点灯し続 ける時間を記録したところ, 平均は98 時間, 標準偏差は12時間であった。 この電球が 60℃の温度において点灯し続ける時間の母平均が1600時間と異なると判断してよいかを 有意水準 5% で検定せよ。 必要であれば正規分布表を利用してよい。

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20 [東北学院大] 平面上に定点A(a),B(L)があり,la_1=5, al =3, | =6を満たしていると 次の問いに答えよ。 ← . (1) 内積 αb を求めよ。 (2)点P (7) に関するベクトル方程式 |-a+6=2a+6で表される円の中心の位置 ベクトルと半径を求めよ。 (3)点P (7) に関するベクトル方程式(p-a) (2-1) =0で表される円の中心の位置 ベクトルと半径を求めよ。

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19 [倉敷芸術科学大] f(x) =ax2+bx は, x=1, -1で整数値をとり, f (1)=r, f(-1)=s とする。 (1) a, b をrs の式で表せ。 (2) 整数nに対して, f(n) を n,r, s の式で表せ。 (3)n が整数のとき, f (n) は常に整数になることを示せ。

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|18 [香川] 点を中心とし,半径1の円に内接する △ABCがOA+√3OB+20C=0を満たして いる。 (1) 内積 OA・OB, OAOC を求めよ。 (2) ∠AOB, ∠AOC を求めよ。 (3) △ABCの面積を求めよ。 (4) 辺BCの長さ, および頂点Aから対辺 BC に引いた垂線の長さを求めよ。

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16 [滋賀大] 1から9までの整数が1つずつ書かれた9枚のカードから, 6枚のカードを同時に抜き出 すという試行について,次の問いに答えよ。 必要であれば正規分布表を利用してよい。 (1) 抜き出された6枚のカードに書かれた整数のうち最小のものを X とする。 Xの期待 値と標準偏差を求めよ。 (2) 抜き出された6枚のカードに書かれた整数のうち最小のものが1であるという事象を Aとする。この試行を200回繰り返すとき, 事象A の起こる回数が125回以下である 確率を,正規分布による近似を用いて求めよ。

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15 [北海道大] 初めに赤玉2個と白玉2個が入った袋がある。 その袋に対して次の試行を繰り返す。 (1) まず同時に2個の玉を取り出す。 (ii) その2個の玉が同色であればそのまま袋に戻し、 色違いであれば赤玉2個 を袋に入れる。 (iii) 最後に白玉1個を袋に追加してかき混ぜ, 1回の試行を終える。 回目の試行が終わった時点での袋の中の赤玉の個数を X とする。 (1) X = 3 となる確率を求めよ。 (2) X2=3 となる確率を求めよ。 (3) X 2 =3であったとき, X」=3である条件付き確率を求めよ。

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14 [富山県立大] 2=COS- 2π - 5 2π +isin とするとき,次の問いに答えよ。 5 (1) z"=1となる最小の正の整数n を求めよ。 (2) 24+23+22 +2 + 1 の値を求めよ。 (3) (1+2)(1+z2)(1+24)(1+2°)の値を求めよ。 2π (4) cos + COS 5 s4 の値を求めよ。

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13 [岐阜大] (1)不等式 3 < 13 を証明せよ。 ただし、必要であれば,210=1024, <log 102 < 10 2138192 を用いてよい。 (2)(1) を用いて, 21 は何桁の数か答えよ。 (3)10g 102が無理数であることを証明せよ。