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Mathematics Senior High

数学B、数学的帰納法の問題についての質問です。 下の赤いボールペンで線を引いた下から2行目のn=2kの部分ですが、この時「kは自然数」や「kは整数」などの断り書きはしなくても良いのでしょうか? 普通の帰納法の問題では、n=kで命題の成立を仮定する時に、nが自然数なのでn=k... Read More

EX (1,2, b1=1 および 033 1+1=2+3b, b+1=a+2b(n= 1, 2, 3. ......) で定められた数列{a}{b}がある。 Cab とするとき (1) C2 を求めよ。 (2) Cm は偶数であることを示せ。 (3)が偶数のとき, C7は28で割り切れることを示せ。 [北海道太] ←各漸化式に n=1 を代 b2=a1+2b1=2+2・1=4 (1) a2=2a1+3b」=2・2+3・1=7, よって C2=azbz=7.4=28 (2) [1] n=1のとき C=ab=21=2であるから, Cn は偶数である。 [2] n=kのとき, C が偶数であると仮定すると, Ck=2mm は整数)と表される。 n=k+1のときを考えると Ck+1=ak+1bk+1=(20+3bk) (+20k) =2a2+7akbk+65k2 =2ak+7.2m+60m² =2(ax²+7m+3bk²) +7m+3bk2は整数であるから, Ck+1 は偶数である。 よって, n=k+1のときも成り立つ。 [1] [2] から すべての自然数nに対してcmは偶数である。 (3) [1] n=2のとき C2=28であるから, C7は28で割り切れる。 [2] n=2kのとき, C2kが28で割り切れると仮定すると, C2k=28m (mは整数)と表される。 入する。 ←数学的帰納法で証明。 ←akbn=ch=2m ←漸化式から、すべての n に対して, an, bm は整 数である。 ←数学的帰納法で証明。 [n=2, 4, .... 2k, ... が対 象である。

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Mathematics Senior High

(1)と(2)を教えてください。 (2)は(1)の式を書くことが出来なかったので、サッカーの絵を見て数えて答えたため、実際の解き方が分かりません。 数学があまり得意ではないため、分かりやすい解説をお願い致します。

けんたろう:このサッカーボールは正五角形と正六角形でできた多面体だね。 一体このサッカーボー ルには何個の正五角形と正六角形があるんだろう。 数えるのには少し手間がかかるね。 ひさのり:それじゃあ, 正五角形と正六角形の個数をそれぞれ x, y とすれば, サッカーボール の面の数 F は F = (ア) ①と表せる。 また, サッカーボールの頂点の数 V は, ②と表すことができるね。 ... 正五角形に注目し, æのみを用いてV= (イ) けんたろう:であれば, サッカーボールの辺の数 E も考えたいね。 正五角形の1つの頂点には3つの 辺が集まっているからE= (イ) ×3と表せられる? ひさのり:それだと重複して数えちゃってるよ。 適当な数で割って,E= (ウ) ③と表すのが 正しいね。 ① ② ③をオイラーの多面体定理に代入して整理すれば (エ) x-(*) y=-4... ④ けんたろう: オイラーの多面体定理ってなんだっけ?? それよりも、 ④の式だけじゃ答えにたどり着か ないよ。もう1本,とyの関係式が欲しいよ。 ひさのり: オイラーの多面体定理はね, 覚えておかないとね。 それじゃあ関係式をもう1本出そう。 正六角形については1つの正五角形のまわりに5つあるから, 合計 5 だね。 だけどこの 場合、正六角形 (カ) 回数えているからy=(キ) ⑤ けんたろう: ④と⑤から正五角形と正六角形の個数がわかるね。 (1) (ア) 2 (キ)に当てはまる適当な数および文字を答えよ。 (2) サッカーボールの正五角形と正六角形の個数をそれぞれ求めよ。

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