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定積分で表された関数の極値と最大
(1) f(x) = ∫(-3t+2at+3b) dt の両辺をxで微分して
-1
f(x)=3x²+2ax+3b
A
(2)関数 f(x) は x=-1 および x=3 で極値をとるから, f'(x) = 0 は
A
a を定数とするとき,
xで微分すると,g(x)となる
ⒷB
f(x)=0 が関数 f(x)が
で極値をもつための必要
あることを利用する。
x=-1, 3を解にもつ。
← B
3a
a =-1+3
解と係数の関係により
-b=(-1)x3
これより α = 3,b=3
このとき f(x)=3x²+6x+9=-3(x+1)(x-3)
また
f(x)=(3+6t+9)dt = |-c+30°+9t_
3t2.
-1
=-x+3x2+9x+5
であるから, 関数 f(x) の増減表は次のようになり, x=-1 および
x=3で極値をとり、適する。
C
したがって a=31, b=31
X
-1
...
3
...
f'(x)
0
+
0
極小
f(x)
7
極大
D
0
32
☆ よって, f(x)は,x=3のとき極大値5をとり, x=-1 のとき極小値」2
a=3,b=3 が十分条件でお
ことを確かめた。
D
a
定数とするとき
Lg (0) dt = 0
a,b,cは
また、
(x-a)(x-
f(x)=x
となる。
⑩ +
y=f(x) a
2次方程式
f(x) 極値
O
の解
以下
(1) p>0.
2次方程
の
a+
② a+
また、
の
a<
さらに,
であることを利用して, 極
(0
(3) (2)よりy=f(x) のグラフは, 右の図
のようになる。
YA
f(-1)=(-31+6+
の
32
y=f(x)
=0
0≦x≦k において, M = 32 となるよ
と求めてもよい。
0 0
② a
こうなんの値の範囲は≧3 Point
(2) p<0.
次に,f(x) = 0(x>0) となるxの値
を求めると
(1)と同
5
0
3
5 x
である
の
-x +3x²+9x +5 = 0
x³-3x²-9x-5=0
(x+1)(x-5)=0
Point
の
x>0より x =
5
(
a
図り,0≦x≦において,m≧0となるようなkの値の範囲は≧52
Point
定義域が変化する関数の最大値、最小値を考えるときは,グラフをかい
て考えるようにしよう。 また、3次関数 f(x) がx=αで極小 (大) 値
をとるとき,f(x)-f(a) は (x-α) で割り切れる性質を利用して,極
小 (大)値と同じ値をとる x = α以外のxの値を求めることができる。
解
合
f(x)
f(x)=x
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