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● 5 回転体の体積 媒介変数型
曲線 C は媒介変数を用いて=t-sint, y=1-cost (0≦t≦2) と表されるとする.また,
曲線 C2 はx=t-sint, y=1+cost (0≦2m) と表されるとする。
(1) CC2は直線y=1に関して対称であることを示せ.
(2) CC2 の交点の座標を求めよ.
(3)とC2で囲まれた部分を軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。
(宇都宮大工)
(x(t), y(t))
曲線が媒介変数表示されている場合の回転体の体積
考え方は面積と同じ
t=ti
=
で、右図の場合,Server-Sony (1) (1) dt(実際の計算は変数を
t=to
to
dt
にしておこなう)となる.
解答量
れらはx座標が等しくy座標の平均が
(1) C. 上の (t-sint, 1-cost) と C2 上の (t-sint, 1+ cost) について,こ
(1-cost)+(1+cost)
-= 1 だから直線
P19 (t-sint, 1-cost)
2
y=1 に関して対称. よって C1 と C2 は y=1 に関して対称.
dx
dt
-y=1
(2) x=t-sintのとき =1-cost≧0だから, tが増加するとも増加する。
P2(t-sint,1+cost)
これと(1) より と C2 の交点は y=1上にあり,このとき cost=0 すなわち
←
P1, P2 (x 座標が
が増加すると
π
3
t=
11/28 202である。交点は (1-1.1)(+1.1)
3
2
(3) Cy=y(x), C2 をy=y2(x) とする.
π
3
<< 21/2xの範囲で1cost<0だから
y1(x)>y2(x)となる.また,(1)を用いると
1(x)-2(x)=(y₁ (x) + y 2 (x)} {y₁(x)-2(x)}
=2{y1(x)-y2(x)}
となるから、求める体積は
3
+1
37 +1
YA
P₁(t) C₁
1
0π
-1
2
X
同じ) は右に動く.y=1に関す
る対称性も考えると, P1=P2 な
らば,その点のy座標は1.
C2Cはサイクロイドである。サイ
クロイドの概形は既知として,例
えば (2) は 「サイクロイドの概形
とy=1に関する対称性から, 交
点はy=1上にある」 としてもか
まわないだろう.
2π
3匹+1
π
P2(t) 2
√***³¹ñ{y₁(x)² — y²(x)²} dx=2xzz(y₁(x)=2(x)} dx
=2π
2
3-21-2
3
{(1-cost) (1+cost)}
3
-dt=2x2(-2cost) (1-cost)dt
1
2
dx
dt
2
sin 2t 2
π
af*(-2cost+(1+cos2t))dt=2x|-2sint+t+
=2π
2
=2(+4)
(解答は p.152)
3-2 2
π
交点に対応するtの値は,
t=-
π 3
π
2' 2"
2cos2t=1+cos2t
