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考えること
検討
キで
1022
D>IE
基本例題 52 2次方程式の解の存在範囲
00000
2次方程式x2-2px+p+2=0が次の条件を満たす解をもつように、 定数の
値の範囲を定めよ。
(1) 2つの解がともに1より大きい。
(2)1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。
280
指針 2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとする。
(1) 2つの解がともに1より大きい。 →α-1> 0 かつβ-1>0
(2) 1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。 →α-3 と β-3 が異符号
以上のように考えると, 例題 51 と同じようにして解くことができる。 なお, グラフを
利用する解法 (p.87 の解説) もある。 これについては, 解答副文の 別解 参照。
2次方程式x^2-2px+p+2=0の2つの解をα, β とし, 判別解 2次関数
解答別式をDとする。
D = (-p)² - (p+2) =p²-p−2=(p+1)(p−2)
解と係数の関係から α+β=2p, aβ=p+2
(1) α> 1,β>1 であるための条件は
D≧0かつ (α-1)+(-1) > 0 かつ (-1)(B−1)>0
D≧0から
(p+1)(p-2) ≥O
よって
p≤-1, 2≤p
(α-1)+(β−1) > 0 すなわち α+β-2> 0 から
よって
......
2p-2>0
p>1 ...... ②
(α−1) (β−1) > 0 すなわち αβ-(α+B) +1>0 から
p+2-2p+1> 0
よって
p<3
求めるかの値の範囲は, ①, ②,
③の共通範囲をとって
(a-3)(3-3)<0
すなわち αβ-3(α+β)+9<0
ゆえに p+2-3-2p+9<0
よって 1/3
2≦p <3
(2) α<β とすると, α<3 <βであるための条件は
2
-1 1 2 3
P
p.87 基本事項 2
f(x)=x2-2px+p+2
のグラフを利用する。
(1) 1=(p+1)(p-2≧0,
軸についてx=p> 1,
4
f(1)=3-p>0
から 2≦p <3
YA
3-p
x=p_y=f(x)
+ a p
O 1
B
x
(2) f(3)=11-5p<0から
11
p> //5
題意から α=βはあり
えない｡
練習 2次方程式x²-2(α-4)x+2a = 0 が次の条件を満たす解をもつように,定数aの値
③ 52 の範囲を定めよ。
89
2章
2
9 解と係数の関係、 解の存在範囲
