2 [2012 岩手大]
関数 f(x) = 2sin2x+4sinx + 3cos2x について,次の問いに答えよ。ただし,
0≦x<2πである。
(1) t = sinx とするとき, f(x) を tの式で表せ。
(2) f(x)の最大値と最小値を求めよ。 また,そのときのxの値をすべて求めよ。
(3)方程式f(x)=αの相異なる解が4個であるような実数aの値の範囲を求めよ。
解答
(1) f(x)=2sin2x+4sinx +3(1-2sin'x) = -4sinx +4sinx +3= -4t2+4t+3
(2) 0≦x<2πであるから −1≤t≤1
g (t) = -4t2+4t+3 とおくと
よって, g(f) すなわち f(x) は,11/12 すなわち
t=
sin x
=1/2のとき最大値4をとり, t=-1 すなわち
2
g(t) = − 4(t-1)² + 4
2
sinx=-1のとき最小値-5をとる。
sin x =
=1/2のとき
π 5
π
9
6 67
sinx=1のとき
x=
3
27
a
y=g(t)
0 11
2
-5
4
(3) sinx=t... ① を満たす x (0≦x<2π) の個数は次のようになる。
-1<t<1のとき 2個
t=-1, 1 のとき 1個
t<-1, 1<t のとき ① を満たす x は存在しない
よって, f(x) =αが相異なる4個の解をもつ条件は, g(t)=aが-1<<1の範囲で
異なる2個の解をもつことである。
y=g(t) のグラフから, 求めるαの値の範囲は 3<a<4
