nが急に下に来た理由がわからないので教えて頂きたいです

5 第1章 数列 例題次のような等比数列の初項から第n項までの和 Sn を求めよ。 7 (1) 初項 3, 公比2 3(2n-1) 解答 (1) S= 2-1 (2) Sn = = 3(2"-1) 11- (1/1)} 2 1-1/2 =2(1-0) (2)初項1,公比1/12/2 n 2 (1-1/2) Sn Sn = a(n-1) r-1 = a(1-") 1-r

この問題のかっこ2の水色のマーカー引いているところでどこからこれが出てきて何を表してるのかわからないので教えてほしいです！！！

32 第1章 式と証明 練習問題 9 (1) a≧060 のとき 33 第1章 a+b. (2)(1)より,A≧0, B≧0 であれば ≧vab 2 A+B≧2AB ...... ① が成り立つことを示せ. また, 等号が成り立つときはどういうときかを が成り立つ. 答えよ. × dto<I+do A= (2)a>0b>0 のとき b S =122. B=1m/m とおくと,a>060 より A0B0 であるから, a ①の不等式より a b b a a b + ≥2 a + ≧2. a b ba √ a b A+B≧2√AB であることを示せ.X すなわち b a 精講 不等式 A>B を直接証明することが難しい場合,両辺を2乗した 不等式 A'> B2 を証明するとよい場合があります. A≧0, B≧0 であることがいえれば, + ≥2 a b が成り立つ. コメント A'B' ⇒ A>B ...... (*) が成り立つので,AB2 が証明できれば,A>B は証明できたことになり ます((*)は一般には成り立たないことに注意してください A, B が0以上 の数ではない場合は, A=-2,B=1 のような反例が作れます). (2)は,(1)の事実をうまく使ってあげることで証明できます. 解答 (1)左辺(右辺 = (a+b)-(ab)20 をa,bの相加平均, 2つの数をかけてルートをとった vab をα, bの相乗平均といいます。 「平均」 といったとき, 私たちが頭に思い浮 かべるのは「相加平均」 ですが、これはx+x=a+b となるæの値であると 見ることができます. この式の足し算をかけ算に置き換えて,xxx=axb となるようなxの値を考えれば,それが 「相乗平均」というわけです. (1) では 2つの0以上の数α bに対して, 2つの数を足して2で割った a+b 2 見る -da a2+2ab+62 a+b 2 ≧vab --ab 4 a²-2ab+b² -d) α² +2ab+b2-4ab 4 <D を証明しましたが,これは「2つの (0以上の)数の相加平均は, 相乗平均より 大きくなる」ということを意味しています。 4 例えば, a=4, 69 のとき (a-b)2 「成り立 4 -≧0 (α-6 は実数より) 4+9 2 =6.5, √4-9-6 よって, (左辺) (右辺) 20,620 より(左辺) ≧0 (右辺) ≧0なので (左辺) (右辺) A≧0, B≧ であれば A'≧B2 ですので,確かに相加平均の方が大きくなっていることがわかりますね。 (2)で見たように,この式は, 両辺を2倍した ⇒ A≧B 等号が成り立つのは, (a-b)2=0 すなわち α = b のときである。こ a+b2ab の形で使われることが多いです. 等号成立が a=bであることもあわせて覚 えておくといいでしょう. この式は相加・相乗平均の不等式などと呼ばれます

この問題のかっこ2の水色のマーカー引いているところでどこからこれが出てきて何を表してるのかわからないので教えてほしいです！！！

32 第1章 式と証明 練習問題 9 (1) a≧060 のとき 33 第1章 a+b. (2)(1)より,A≧0, B≧0 であれば ≧vab 2 A+B≧2AB ...... ① が成り立つことを示せ. また, 等号が成り立つときはどういうときかを が成り立つ. 答えよ. × dto<I+do A= (2)a>0b>0 のとき b S =122. B=1m/m とおくと,a>060 より A0B0 であるから, a ①の不等式より a b b a a b + ≥2 a + ≧2. a b ba √ a b A+B≧2√AB であることを示せ.X すなわち b a 精講 不等式 A>B を直接証明することが難しい場合,両辺を2乗した 不等式 A'> B2 を証明するとよい場合があります. A≧0, B≧0 であることがいえれば, + ≥2 a b が成り立つ. コメント A'B' ⇒ A>B ...... (*) が成り立つので,AB2 が証明できれば,A>B は証明できたことになり ます((*)は一般には成り立たないことに注意してください A, B が0以上 の数ではない場合は, A=-2,B=1 のような反例が作れます). (2)は,(1)の事実をうまく使ってあげることで証明できます. 解答 (1)左辺(右辺 = (a+b)-(ab)20 をa,bの相加平均, 2つの数をかけてルートをとった vab をα, bの相乗平均といいます。 「平均」 といったとき, 私たちが頭に思い浮 かべるのは「相加平均」 ですが、これはx+x=a+b となるæの値であると 見ることができます. この式の足し算をかけ算に置き換えて,xxx=axb となるようなxの値を考えれば,それが 「相乗平均」というわけです. (1) では 2つの0以上の数α bに対して, 2つの数を足して2で割った a+b 2 見る -da a2+2ab+62 a+b 2 ≧vab --ab 4 a²-2ab+b² -d) α² +2ab+b2-4ab 4 <D を証明しましたが,これは「2つの (0以上の)数の相加平均は, 相乗平均より 大きくなる」ということを意味しています。 4 例えば, a=4, 69 のとき (a-b)2 「成り立 4 -≧0 (α-6 は実数より) 4+9 2 =6.5, √4-9-6 よって, (左辺) (右辺) 20,620 より(左辺) ≧0 (右辺) ≧0なので (左辺) (右辺) A≧0, B≧ であれば A'≧B2 ですので,確かに相加平均の方が大きくなっていることがわかりますね。 (2)で見たように,この式は, 両辺を2倍した ⇒ A≧B 等号が成り立つのは, (a-b)2=0 すなわち α = b のときである。こ a+b2ab の形で使われることが多いです. 等号成立が a=bであることもあわせて覚 えておくといいでしょう. この式は相加・相乗平均の不等式などと呼ばれます

この問題なのですが、この式変形はどうなっているのですか？教えて欲しいです🙇‍♂️

fl 本例題 45 数学的帰納法と等式の証明 nが自然数のとき,数学的帰納法によって,次の等式 n 1+3+32+…+3"-1=1(3-1) =1/12 (31) を証明せよ。SOLUTION 00000 421 ① 1章 p.420 基本事項 1 10 5

赤線を引いたところなのですが、なぜ係数を1にする必要があるのでしょうか。

基本 例題 41 円のベクトル方程式 559 0000 「平面上の異なる2つの定点 0, Aと任意の点Pに対し,次のベクトル方程式 はどのような図形を表すか。 | |20P-OA|=4 CHART & SOLUTION 円のベクトル方程式 (2) OP OP=OP OA(S) 1章 p.548 基本事項 3 重要 44 5 1 (ベクトルの大きさ) =一定を導く ② 内積) = 0 を導く 動点と定点(円の中心)の距離が一定であることを示す。 ②動点と2定点(直径の両端)を結んでできる2つの線分が直交することを示す。 答 (1)|20P-OA|=4 を変形すると 20P-120A|=4 OP すなわち10P-120A=2 ゆえに、線分 OAの中点を中心とす る半径2の円を表す。 (2) OP・OP=OP・OA を変形すると OP OP-OP OA=0 ( よって OP.(OP-OA)=0 すなわち OP-AP=0 ゆえに OP= 0 または AP = 0 または OP 1 AP よって 線分 OA を直径とする円 P 0-1XX 2 112 A (1) の方針。 なぜ? OPの係数を1にするた めの変形。 OA 線分 OAの中点をBとす ると |OP-OB|=2 PX S A よって, |BP|=2 (一定) と表すことができる。 (2)②の方針 (内積) = 0 OPAP のとき,点P は線分OA を直径とする 円周上(点0, Aを除く) にある。 円 ベクト

（3）の下線部を引いて？が書いてあるところの解説が理解できないです できれば具体例を交えて教えていただけると助かります

間」 と い くま 出 上げ す リ 司 10 第1章 式と証明 基礎問 第1章 • 42項定理 多項定理 7/0 (2)x8x3131xxx (1) 次の式の展開式における〔〕内の項の係数を求めよ. (i) (x-2) (x³] (i) (2x+3y)5 (x³y²) (2)等式 nComi+nC2+…+nCn=2" を証明せよ. (3)(x+y+2z)を展開したときの'zの係数を求めよ。 精講 2項定理は様々な場面で登場してきます. ここでは I. 2項定理の使い方の代表例である係数決定 Ⅱ.2項定理から導かれる重要な関係式 以上2つについて学びます。 2項定理とは、 等式 (a+b)=n Coa"+"Ca1b+…+nCka-kbk+..+nCnb” のことで, Cka"-b" (k=0, 1,, n) を (a+b)” を展開したときの一般項といいます。 解 HO (1) (i) (2)' を展開したときの一般項は Cr(x)^(-2)=Cr(-2)7.x" r=3のときが求める係数だから 7×6×5 7C3(-2)= ・24=560 3×2 参考 次に (x+y)* を展開したときの一般項は Cirky-l したがって(x+y+2z) を展開したときの一般項は 6Ch Ciry-(22)6-k =26-6Cn* Cix¹y-12- 11 11 定数の部分と文字式 の部分に分ける よって,r'y'zの係数は k=5,i=3 のときで 216C55C3=26C1・5C2 =2・6・10=120 ポイント (a+b)" =nCoa"+nCian-16+... +nCkan-kbk+…+nCnbn <Crx7-(-2) でも (3)は次の定理を使ってもできます。 多項定理 (a+b+c)” を展開したときの abc' の係数は n! p!g!r! (p,g,r は 0 以上の整数で, p+g+r=n) (x+y+2z) を展開したときの一般項は p!q!r!xy(22)'= p!q!r! x'y'z' p=3g=2,r=1のときだから求める係数は (p+g+r=6) よい (別解) 6! 26! (Ⅱ) (2x+3y) を展開したときの一般項は 5C,(2x) (3y)5--5C, 235. xy-r r=3のときが求める係数だから 5C3・23・32= 5×4×3 3×2 .23.32=720 2.6! =120 3!2!1! 5Cr(2)-(3y) で 注 1. 多項定理を使うと, 問題によっては,不定方程式 p+g+r=n を解く 技術が必要になります. もよい (2)(a+b)=CanCam-16+…+nCn-146"-1" Cnb" の両辺に a=b=1 を代入すると (1+1)^=„Co+„Ci+…+nCr ...nCo+nC+... +nCz=2" (3)(x+y+2z)を展開したときの一般項はCh(x+y)(2z)6- 注2. (1) (ii)のようにx,yに係数がついていると, パスカルの三角形は使いに くくなります。 演習問題 4 (1) (32y)におけるryの係数を求めよ. (2) Co-C+C2-nC3+..+(-1)"C=0 を証明せよ.

解答の中の一つ目の赤字の部分のように、n＝2mと置く時、なぜシグマの上には2mではなくてmを置くのでしょうか？？

基本事項 数列 例列 同じ項を, えて書く 例題 重要 28 S2m, S2m-1 に分けて和を求める 一般項が am= (1) n+1 M... 00000 -1)n2で与えられる数列{a} に対して, Sn=ak とする。 RQxdx=1.2.3.)をkを用いて表せ。 [(2) Sm= 指針 | (n=1, 2, 3, ・・・・・・) と表される =2 k=1 (2) 数列{an} の各項は符号が交互に変わるから, 和は簡単に求められない。 次のように頭を2つずつ区切ってみると =bbl =bs 「上のように数列{b} を定めると, bk=ak-1+a2k (kは自然数)である。 よって、m を自然数とすると [1]nが偶数、すなわちn=2mのときはSon = bi=2(ashitaw)として求め られる。 S2m-1=Szm k=1 k=1 [2]が奇数,すなわちn=2m-1のときは,Sam = Sam-1+α2mより S2m-azm であるから, [1] の結果を利用して S2m-1 が求められる。 このように,nが偶数の場合と奇数の場合に分けて和を求める (1) a2k-1+αzk=(-1)2k(2k-1)^+ (−1)2k+1(2k)2 =(2k-1)-(2k)=1-4k すい。 13, 公比3, 〇等比数列 解答 (2) [1]=2m (mは自然数) のとき m k=1 =m-4.123mm+1)=-2m-m m S2m=2(a2k-1+azk=2(1-4k) k=1 n m= であるから 2 Sn=-2(2)²- 1.2 14 n 2 2n(n+1) [2]=2m-1(mは自然数)のとき azm=(-1)2m+1(2m)=-4m² であるから S2m-1=Szmazm=-2m²-m+4m²=2m-m (-1) =1, (−1)数=-1 ={(2k-1)+2k} ×{(2k-1)-2k} S2m= (a1+a2) + ( as+αs)+...... +(azm-1+azm) Sm=2m²-mに m= =1/27 を代入して.n の式に直す。 AS2mm=S2-1+a2 を利用する。 451 1章 ③種々の数列 2h Inentl は等比 n+1 m= であるから 2 S,=2(n+1)_n+1/2 (n+1)((n+1)-11 =1/21m(n+1) [1], [2] から Sam-1=2m²-m をnの 式に直す。 (*) [1], [2] のS” の式は 符号が異なるだけだから、 Sn= (−1)"+1 n(n+1). (*)のようにまとめるこ (*) 2 とができる。 一般項が=(-1)n(n+2) で与えられる数列{a} に対して, 初項から第n項ま S+1 練習

解答に載っている解き方が違う方法で書かれていました。問題の内容が違っても考え方は同じだと思ったのですが、何かが違うから違う解き方なのか同じ解き方でできるけどわざと違う解き方で書かれているのか知りたいです🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️(画質悪くてすみません💦)

第2節 確率 139 (例題22) 復試行の確率の応用 AとBの試合で,A,Bの勝つ確率がそれぞれ 2 9 3 3 であるとす 第 第1章 る。この試合を繰り返すとき, AがBよりも先に3回勝つ確率を求 めよ。 考え方 次の場合に分けて考える。 (解答) [1]3連勝 [2]3勝1敗 [3]3勝2敗 AがBよりも先に3回勝つのは,次の3つの場合がある。 [1] 3連勝の場合 その確率は [2]3勝1敗の場合 (11/ = 27 3 3試合目までにAが2回勝ち, 4試合目にAが勝つ場合である。 その確率は 3C2 12 × 3 3 27 [3] 3勝2敗の場合の時が、み 4試合目までにAが2回勝ち, 5試合目にAが勝つ場合である。 その確率は 4C2 18 × 3 81 [1]~[3] の場合は互いに排反である。 12 8 よって, 求める確率は + + 27 = 81 27 3+6+8 81 = 17 81

（3）の解き方を教えて欲しいです

右の図のように、南北に5本, 東西に4本の道がある。 最短の道順の総数は、 同じものを含む順列とみて求めることができる。 例題 5 最短の道順 北 B 2 AからBへ行く最短の道順は何通りあるか。 西 解 北に1区画進むことを記号1,東に1区画進む ことを記号で表す。 AからBまで行く最短の道順は, ↑を3個 4個 A 南 西 A 並べる順列で表すことができる。 よって, 求める道順の総数は = 7! 7・6・5・4・3・2・1 3!4! 3･2･1×4･3･2･1 =35 35通り 解法のポイント 最短の道順は,記号でおきかえて考えることができる。 例題5は次のように考えて解くこともできる。 AからBまで最短で行くには, 北に3区画, 東に 北 東 B 南 上の図の道順は ↑↑↑→→ で表される。 1章2節順列組合せ 4区画の合わせて7区画進めばよい。 7区画 よって, 7区画の中から北に進む3区画を選べば, 1つの道順が決まる。 7.6.5 したがって, 求める道順の総数は 7C3= =35 (通り) 3.2.1 問 19 右の図のような道がある。 次の場合の最短の道順は何通りあるか。 (1) AからBへ行く。 (2) AからPへ行く。 AからPを通ってBへ行く。 29

【2】で、赤線を引いたとこはなぜ出て来るのかを教えて欲しいです。私はX＋１>=0だと思いました🥹‪ お願いします

基本 例題 35 (1)|3x+8|=5x 絶対値を含む方程式 (場合分け) 次の方程式を解け。 00000 (2) x+1|+|x-1|=2x+8 基本 22 CHART & SOLUTION 絶対値は 場合分け (1)||= (正の定数)ではないから、基本例題 34(1),(2)のようには解けない。そこで a≧0 のとき |a|=a, a < 0 のとき |a|=-a により、場合分けをして絶対値記号をはずす。 → 絶対値記号内の式3x+8が0となるxの値が場合の分かれ目になる。 なお,得られた解が場合分けの条件を満たすかどうかを必ず チェックすること。 (2) x-1<0 x-1≥0 _x+10 x+1≥0 (2)2つの絶対値記号内の式x+1, x-1が0となるの値は, それぞれ-1,1であるから, x1 -1≦x<1, 1≦x の 3つの場合に分ける。 場合の分かれ目 解答 1章 1次不等式 (1) [1] 3x+80 すなわち x! のとき 8 1内の式≧0 の場合。 |3x+8|=3x+8 方程式は 3x+8=5x これを解いて x=4 8 これはx≧- を満たす。 3 8 [2] 3x+8<0 すなわち x のとき | |内の式<0 の場合。 3 |3x+8|=-(3x+8) 方程式は -(3x+8)=5x これを解いて x=-1 マイナスをつける 8 3 これはx<- を満たさない。 に分ける E したがって, 方程式の解は をはず x=4 (2) [1] x<-1 のとき -(x+1)-(x-1)=2x+8x+1<0, x-1 <0 これを解いて x=-2 これはx<-1を満たす。 *[2] -1≦x<1 のとき (x+1)-(x-1)=2x+8 Aと 成立 x+10, x-1 < 0 [3] 1≦x のとき これを解いて x=-3 これは-1≦x<1を満たさない。 (x+1)+(x-1)=2x+8 x+1>0, x-1≧0 整理すると0.x=8 となり, これを満たすx は存在しない。 したがって, 方程式の解は x=-2 ■ (1) 3x+8|≧0 から 5x≧0 すなわち x 0 よって, 3x+8≧0 であるから 3x+8=5x と進めてもよい。 このように, |A|≧0 の利用が役立つ場合もある。