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例題 57
"" の値
★★★
1
1
(1)複素数zz+
√3 を満たすとき,290 +
の値を求めよ。
Z
2.30
=
1
1
= {cos(±²² 7) + ¡sin(±²² 7)}”* + {cos(± 2/37) + isin (±²/7)}"
2n
2n
土
2n
= cos( ± 21/17) + isin (± 2/2 7 ) + cos(+27) + isin (+237)
(2) 複素数zz+
= 1 を満たすとき, w = z" +
Z
の値を求め
z"
= COS
2n
3
±isin
2n
3
2n
+cos π干isin
3
2n
π
3
よ。 ただし, n は整数とする。
2n
= 2 cos
思考プロセス
(1)+(2+1)
と考えるのは大変。
《ReAction 複素数の乗は、 極形式で表してド・モアブルの定理を用いよ
例題 55
具体的に考える
2+112=1/3より2-3z+1=0 ⇒
極形式
2=
1
解 (1) z+ = √
√3より 2°-√3z+1=0
Z
よって
(複号同順)
3
(ア)n=3k(kは整数) のとき
w=2cos (2kz)=2
(イ) n=3k+1 (kは整数) のとき
w = 2cos(2kz+
237) = 2 cos² =
(ウ)n=3k+2 (kは整数) のとき
w=2cos
cos(2kz+
(ア)~(ウ)より, kを整数とすると
4
=-1
= 2 cos =-1
2 (n=3k のとき)
√√(3) -4･1･1
2 =
3
土
2
2
1
i
2
= cos(土)+isin (+)(複号同順)
このとき, ドモアブルの定理により
2 = {cos(+1) +isin(土)}
土
= cos(±5π) +isin (±5π) (複号同順)
=-1
w=
|-1 (n=3k+1,3k+2 のとき)
1
Point z+
1
=kのときの " + の値
Z
z"
1
複素数zが z+ = k ... ①(kは実数) を満たすとする。
2
① より z-kz+1=0
この2解は互いに共役な複素数z, zであるから, 解と係数の関係
よって |z|2=1 すなわち |z|=1
ゆえに, z=cos+isind とおくと
z"=cosn0+isinn0
したがって
1
1
ゆ
=
=-1
2.30
-1
2" +
したがって
2.30 +
1
=-1-1=-2
(2)+1
=-1 より
2+z+1=0
2次方程式の解の公式を
用いてzの値を求める。
よって
このことから,z+ はnの値に関わらず実数となることも分
2"
=2"+(2")-1
= (cosnd+isinn)+(cosn0+isinn0)-1
= (cosnd+isinn)+(cosn0-isinn0)
=2cosno
1
34
13
2
-1±√3i
2=
2
=
+
=cos (2) +isin (土) (複号同順)
O
このとき, ドモアブルの定理により
1
w = 2" + =z+zn
23 23
T
x
1
練習 57 (1) 複素数zが z+
==
2 を満たすとき, 12 +
2
1
(2) 複素数zが z+- =√2 を満たすとき, w=z
2.
