赤丸?のところ教えてください。

解答 基本 75 第n次導関数を求める (1) を自然数とする。 (1) y=sin 2x のとき, y''") =2"sin (2x+ nπ であることを証明せよ。 重要 2 (2) y=x" の第n 次導関数を求めよ。 /p.129 基本事項 1 重要 76, p.135 参考事 関数 計 yla は、yの第n次導関数のことである。そして、自然数nについての問題です。 から自然数nの問題 数学的帰納法で証明 の方針で進める。 (2)では,n=1,2,3の場合を調べてy(n) を 推測し、数学的帰納法で証明する。 注意 数学的帰納法による証明の要領 (数学 B) [1] n=1のとき成り立つことを示す。 [2] n=kのとき成り立つと仮定し, n=k+1のときも成り立つことを示す。 (1)y(n=2"sin(2x+ 22 が成り 指針 Sin nπ 2 ① とする。 (+1)=cos 2x sin(2x+/-) であるから,①は成り立つ。 解答 [1] n=1のとき y'=2cos2x=2sin [2]n=k のとき,① が成り立つと仮定するとy=2* sin(2x+k) n=k+1のときを考えると,②の両辺をxで微分して d axy/tl=2 cos(2x+ RT ごは 他に yy(k+1)=2k+1sin(2x+ RT π + 2 2 =2+1sin{2x+(k+1)x} よって、n=k+1のときも①は成り立つ。 ・次導関数]×[2]から、すべての自然数nについて ①は成り立つ。 (2) n=1,2,3のとき,順に められていy=x=1,y=(x)"=(2x)'=2・1, y=(x")"=3(x2)"=32-1 (2)はい したがって,y(n)=n! ① と推測できる。 n=1のとき y=1! であるから, ①は成り立つ。 [2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 求めるから) y(k)=k! すなわち dk x=k! dxk え、とりあえず y(k+1)= =k+1のときを考えると, y=xk+1で, (xk+1)=(k+1)xk であるから dk dk dr (dxx+1)= {(k+1)x*} =(k+1) dk dxk dxkx=(k+1)k!=(k+1)! よって, n=k+1のときも ①は成り立つ。 [1], [2] から すべての自然数nについて①は成り立ち y(n)=n! 75 (1) y=logx 練習 n を自然数とする。 次の関数の第 n次導関数を求めよ。 (2) y=cosr

3枚目のまるで囲ったところがどうして変わるのか教えて欲しいです

() 336 3本の直線 2x+3y=6n (nは自然数), x = 0, および y=0 で囲まれる 三角形の周および内部にあるすべての格子点の総数を求めよ。 なお, 格子点と は x 座標およびy座標が整数である点のことである。 337 数列{a}が次のように帰納的に定められている。 2an [19 埼玉大 (nが奇数のとき) AS (n=1 2 2

矢印の所の変形がわかりません。 解説お願いします💦は

13 8点(部分点あり) すべての自然数nについて, 33-2"は25の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明 せよ。 「33"-2"は25の倍数である」 を･･･① とする。 [1]n=1のとき, 33×121=25 よって, n=1のとき①は成り立つ。 [2]n=kのとき ①が成り立つと仮定すると 33k-2k=25m (mは整数)... ②とおける。 n=k+1のときを考えると ②から 33(k+1)2k+1=33.3k-2.2k =27(25m+2k)-2.2k =25(27m+2k) 27m+2 は整数であるから, 33(k+1)2k+1は25の倍数である。 よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1], [2]から すべての自然数nについて①は成り立つ。

数学　帰納法 この矢印を引いた先の下線部分の式はどのようにして出したのでしょうか

[1] n=1のとき (左辺)=1.1!=1, (右辺)=(1+1)!-1=1 よって、①は成り立つ。 n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 1.1!+2・2! + •••••••k!=(k+1)!-1 n=k+1のときを考えると,②から 1・1! +2・2! + ...... +kk!+(k+1)(k+1)! 2(k+1)!-1+(k+1) ・(k+1)! =(k+2)(k+1)!-1=(k+2)!-1 ={(k+1)+1}!-1 よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 ② [1] [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。 E の

数学的帰納法の計算がわかりません

せよ。 4x=-2 □(105-1)が成り立つとすると 2 +1)=110F-1)+10k =6/110-1+9.10) (101) い 1= € (A) (187 4x-2 0 =0 → x= かくて(A)は成り立つ n+5) 8016 22

印の変形の仕方を教えてください。

(2) [1] n=1のとき (左辺)=1 (右)=110-1)=1ek よって, ①は成り立つ。 [2]n=kのとき,①が成り立つ, すなわち 1+10+10°+101=1/10 (10^-1) と仮定する。 n=k+1のとき,①の左辺について考えると 1+10+102+......+10k-1+10% =1/12 (10-1)+10=1/12 (10^-1+10 =/12 1/10 (10-10-1)=1/12 (1011) よって, n=k+1のときにも ① は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて ① は 成り立つ。

矢印をかいている所の変形が分かりません。 解説お願いします💦🙇‍♀️

すべての自然数nについて, 42n+1+3+2は13の倍数であることを、 数学的帰納法を用い 証明せよ。 「42n+1+3+2は13の倍数である」 を① とする。 [1]n=1のとき, 42・1+1+31+2=64+27=91 よって、①は成り立つ。 [2]n=kのとき①が成り立つと仮定すると, とおける。 42k+1+3k+2=13m (m は整数) ･･･② n=k+1のときを考えると ②から 42(k+1)+1+3(k+1)+2=42.42k+1+3k+3 =16(13m-3k+2+3k+3 =13.16m (16-3).3*+2 =13(16m-3k+2) 16m-3k+2 は整数であるから, 42(k+1) +1 +3(k+1)+2 は13の倍数である。 よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1], [2]からすべての自然数nについて①は成り立つ。

黄色で線を引いた部分なんですけどなぜこうなるのか分かりません。そのまま10mで置いたらダメなんですか？この式になる理由を教えていただきたいです！よろしくお願いします！

は自然数とする。 このとき 11"-1は10の倍数であることを, 数学的帰納法によって 証明せよ。 (解説 「11-1は10の倍数である」 を(A)とする。 [1] n=1のとき 111-1=10 よって, n=1のとき (A) は成り立つ。 [2] n=kのとき (A) が成り立つと仮定すると,m を整数として11-1=10m すなわち 11=10m+1と表される。 n=k+1のとき 11k+1-1=11・11−1=11(10m+1)-1 =110m+10=1011m+1) 11m+1 は整数であるから, 11 +1 -1 は10の倍数である。 よって, n=k+1のときにも(A)は成り立つ。 [1] [2] から, すべての自然数nについて (A) は成り立つ。

左辺>右辺を言いたい時、左辺−右辺>0っていうのは分かりますが、写真の>の右辺ってn^2-n+2の nにk+1を代入したものではないですよね？ どういうことですか？

501 例題 基本例 57 不等式の証明 00000 3以上のすべての自然数nについて,次の不等式が成り立つことを証明せよ。 指針 ①D(I p.498 基本事項 11 ≧」であるすべての自然数nについて成り立つことを示すには,出発点を変えた 数学的帰納法を利用するとよい。 [1] = のときを証明。 出発点 [2]n=k(k≧●)のときを仮定し, n=k+1のときを証明。 本問では,n≧3のとき,という条件であるから,まず, n=3のとき不等式が成り立つ ことを証明する。なお, n=k+1のとき示すべき不等式は3>(+1)-(k+1)+2 ① 大小比較 差を作る A>Bの証明は差A-B>0 を示す 解答 数学的帰納法 CHART 数学的帰納法 |1| nの出発点に注意 k+1の場合に注意して変形 が成り D 1.2+1 ●出発点は n=3 [1] n=3のときを考えると+A (左辺 =32=9, (右辺) =32-3+2=8 よって,①は成り立つ。 [2] =k(k≧3) のとき,①が成り立つと仮定すると 3k-1>k2-k+2 ****.. ② _n=k+1のとき,①の両辺の差を考えると, ②から {(k+1)-(k+1)+2} 3.3k-1-(k²+k+2)+1) [1][2]=2k2-4k+4=2(k-1)+2>0 (左辺) > (右辺) k≧3を忘れずに。 ②を利用できる形を作 り出す。 したが>3(k-k+2)-(k+k+2) 基本形を導くことにより, ゆえに 3>(k+1)²-(k+1)+2(1)()-(E)>0³ よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1], [2] から, n≧3であるすべての自然数nについて ①は成り立つ。 される。 40 ya

数Bの数学的帰納法です。 どのようにやったら紫マーカのところの式になりますか？ 教えてください🙇⋱

81 証明すべき等式を (A) とする。 ( (1) [1] n=1のとき+0fd 左辺 = 1, 1 右辺 =.1·(3·1-1)=1 よって, n=1のとき, (A) が成り立つ。 [2] n=kのとき (A) が成り立つ, すなわち 1+4+7+…+(3k-2)=1/2k(3k-1) が成り立つと仮定すると, n=k+1のときの (A) の左辺は E= 1 + 4 +7 + … + (3k-2) +{3(k+1)-2} よって Stand=152 = 2 -k(3k-1)+(3k+1) {k(3k-1)+2(3k+1 1 1 = = (3k²+5k+2)=(k+1)(3k+2) n=k+1のときの(A) 右辺は (k+1)3(k+1)-1)=1/2(k+1)(3k+2) (I) S- よって, n=k+1のときも (A) が成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて (A) が 成り立つ。