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基本 例題 198 方程式の実数解の個数 f(x)=(定数)に変形
00000
αは定数とする。 方程式 ax=210gx +log3 の実数解の個数について調べよ。
logx.
ただし, lim
=0を用いてもよい。
p.326 基本事項 ② 重要 197
重要 199
x
第8
JA
指
指針▷ 直線 y=ax と y = 2logx+log3 のグラフの共有点の個数を調べれ
ばよいわけであるが,特に, 文字係数 αを含むときは,αを分離し
f(x) =αの形に変形して考えるとよい。
このように考えると,y=f(x) [固定した曲線] とy=a[x軸に
平行に動く直線] の共有点の個数を調べる ( ) ことになる。
y=f(x)
[CHART
実数解の個数グラフの共有点の個数
定数αの入った方程式 定数 αを分離する
解答
真数条件より,x>0であるから,与えられた方程式は
この断りを忘れずに。
2logx+log3
2logx+log 3
=αと同値。 f(x)=
とすると
定数αを分離。
XC
x
ƒ'(x)= 2−(2logx+log 3) _ 2−(logx²+log 3)
x²
f'(x) = 0 とすると,x>0であ
e
るから x= √3
x>0における増減表は右のよ
うになる。 また
limf(x)=-∞, limf(x)=0
XC
+
2-log 3x²
110g3x2=2から
x2
3x2=2
e
x
0
f'(x)
f(x)
7 2√3
e
x+0
x→∞
y=f(x) のグラフは右図のように
なり,実数解の個数はグラフと
YA
2√3
e
x>0であるから
/3
0
極大
x→ +0のとき
10
x
→∞, logx→-8
x→∞のとき
e
x=
2√3
直線y=aの共有点の個数に一致
するから
<αのとき0個;
e
0
x
e
y=a
2√3
|y=f(x)
a≤0, a=
のとき1個;
e
2√3
0<a<
のとき2個
e
logx
→0.
0
x
x
[参考] ロピタルの定理から
lim
8
logx
x
=lim
