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思考プロセス
D 頻出
例題 74 2次関数の最大 最小 〔5〕･･･ 区間に定数を含む (2) ★★★☆
2次関数f(x)=x2-4x+5 (a ≦x≦a+2) について
(1) 最大値 M (a) を求めよ。 また, y = M(α) のグラフをかけ。
(2) 最小値m (a) を求めよ。 また, y = m (a) のグラフをかけ。
To Action 2次関数の最大・最小は,軸と区間の位置関係を考えよ 例題 69
幅2
場合に分ける
区間 a≦x≦a +2 が文字を含む。
aの値が大きくなるほど, 区間の全体が右側へ動くことから,
場合分けの境界を考える。
(1) 最大値
軸から遠い方の端点を考える。
(放物線は軸に関して対称であるから, 区間の中央
の値α+1と2の大小で場合に分ける。)
(2) 最小値
軸が区間内かどうかを考える。
M(a) = f(a)
f(x)=x2-4x+5=(x-2)+1
よって,y=f(x)のグラフは,軸が直線x= 2,頂点が大量の関S...aning
点 (2, 1)の下に凸の放物線である。
(1) (ア) a+1 < 2 すなわち α < 1 のとき
軸は区間の中央より右にあるから,
f(x) は x = α のとき最大となる。
よって
=a²-4a+5
= (a−2)² + 1
(イ) α+1 = 2 すなわち α =1のとき
軸は区間の中央にあるから, f(x)
は x = 1,3のとき最大となる。
よって
M(a) = f(1) = f(3) = 2
(ウ) 2 <a + 1 すなわち 1 <a のとき
軸は区間の中央より左にあるから,
f(x)はx=a+2のとき最大と
なる。
よって
M(a) = f(a+2)
= {(a+2) - 2}2 +1
= a² +1
Oa+22
Ay
2
O
123
x
x
0a2a+2x
〔軸
O
a a+2
「右側へ動いていく
JUDET ANG
2次関数のグラフは軸に
関して対称であるから,
区間の端点 α, a+2 のう
ち,軸から遠い方のxの
値で最大値をとる。
軸から遠い端点は
x = a
後でグラフをかくから,
平方完成しておく。
グラフは直線 x = 2 に関
して対称であるから
f(1) = f(3) (1)
(0) MAR
(1)
軸から遠い端点は
x = a+2
となる。
f(x)=(x-2)^2+1に代
入する方が計算しやすい。
