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基本 例題 47
2次方程式の作成
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(1) 2次方程式 x2+3x+4=0 の2つの解をα, β とするとき, α', ' を解
とする2次方程式を1つ作れ。
(5)
(2) a<b とする。 2次方程式 x2+ax+b=0 の2つの解の和と積が、2次
方程式 x2+bx+α=0 の2つの解である。 このとき, 定数a, bの値を求
めよ。
MC
p.75 基本事項 3 基本44
基
CHART & SOLUTION
2次方程式の2つの解の関係 解と係数の関係を書き出す
(1) 2数α2β2 を解とする 2次方程式の1つは
x2-(α2+β2)x+α2B2=0
|
積
(2)2つの2次方程式の解と係数の関係を書き出し, a, b の関係式を導く。
解答
(1) 解と係数の関係により
a+β=-3, aβ=4
=1
よって2+2=(a+β)2-2aß=(-3)2-2・4
EL
(8) 12
α, β は2次方程式
x2+3x+4=0 の2つの解
a², B².
21
21
α2β2=(aβ)2=42=16
← 2数 2, B2 の積。
ゆえに, 求める2次方程式の1つは x2-x+16=0
(2) 2次方程式 x2+ax+b=0 の解をα, β とすると,解と
係数の関係により α+β=-a... ①, aβ=6... ②
2次方程式 x2+bx+α=0 の解がα+ β, aβ であるから,
解と係数の関係により
(a+β)+αβ=-6, (a+β)aβ=a
① ② を代入して -a+b=-b... ③, -ab=a ・・・ ④
すなわち a(1+b)=0
④から a+ab=0
2つの解の和と積。
上の4つの式 (赤字) か
らα, β を消去。
よって
α = 0 または b=-1
[1] α = 0 のとき
③ から 6=0
これは α <b を満たさない。
← ③ から a=2b
[2] b=-1 のとき
条件を確認する。
③ から a=-2 これは a<bを満たす。
[1], [2] から
a=-2,b=-1
PRACTICE 47
(1) 2次方程式 x²-2x+3=0 の2つの解をα, β とするとき,次の2数を解とする
2次方程式を1つ作れ。
(ア) α+1,β+1
(イ)
1 1
a' B
(ウ) 3,3
(2)pg を 0でない実数の定数とし 2次方程式 2x'+x+2g=0の解をα,βとす
る。2次方程式 x2+qx+p=0 の2つの解がα+β と αであるとき,pg の値を
求めよ。
