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基本
例題 125
無限級数 1-
1/2+1/12/8/1/3+1/3/1/+1/1/1
① について
(1) 級数 ① の初項から第n項までの部分和をSとするとき, Szn-1, S2をそれ
ぞれ求めよ。
(2) 級数 ① の収束 発散を調べ, 収束すればその和を求めよ。
2通りの部分和 S2n-1, San の利用
解普
(1) Sun-1=1-1/2
4 4
指針 (1) S2n-1 が求めやすい｡ S2 はS2=S2-1+(第2n項) として求める
(2) 前ページの基本例題124と異なり, ここでは( )がついていないことに注意。
このようなタイプのものでは、S を1通りに表すことが困難で, (1) のように
S2n-1, S2 の場合に分けて調べる。
そして,次のことを利用する。
Sn=Szn1
[1] limS27-1 = lim S2 = S ならば limS=S
2400
[2] lim S21-1≠lim S2 ならば
1/12/+2/-/1/3+1/31/+1/1/1
n
n
=1-(1/2/-/1/1)-(1/3-1/31) (一号)=
:1
n+1
・+
S2=S24-1-1=1-1
n+1
lim S21-1=1, limS2=lim(
4 4
･･・･・･・･･･・･・･
(2) (1) から
よって
limS=1
したがって, 無限級数 ① は収束して, その和は1
n+1
11:00
{S} は発散
+
基本124
=
部分和 (有限個の和)なら
( )でくくってよい。
[参考] 無限級数が収束すれば,
その級数を、順序を変えずに
任意に( )でくくった無限級
数は,もとの級数と同じ和に
収束することが知られている。
検討 無限級数の扱いに関する注意点
上の例題の無限級数の第n項を [1/1 と考えてはいけない。 ( )が付いている場合は,n
1
n+1
番目の( )を第n項としてよいが,( )が付いていない場合は, n番目の数が第n項となる。
注意 無限級数では, 勝手に( )でくくったり、 項の順序を変えてはならない!
[例えば, S=1-1+1−1+1−1+....=(1-1)+(1-1)+(1-1)+••••••
したら大間違い! (Sは公比1の無限等比級数のため、 発散する。)
ただし, 有限個の和については,このような制限はない。
とみて, S=0 な
0などと]
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4章
15
無限級数
