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重要 例題 71 定義域によって式が異なる関数 ○○○○○
関数f(x) (0≦x≦4) を右のように定義すると
き,次の関数のグラフをかけ。
f(x)=
= {
2x
(0≦x<2)
8-2x (2≦x≦4)
(1) y=f(x)
(2) y=f(f(x))
|指針
定義域によって式が変わる関数では,変わる境目のx,yの値に着目。
(2) f(f(x)) f(x)のxにf(x) を代入した式で
0f(x) <2のとき 2f(x), 2f(x) 4のとき
(1)のグラフにおいて, 0 f(x)<2となるxの範囲と,
を見極めて場合分けをする。
(1) グラフは 図 (1) のようになる。
(2)S(f(x))={o_2f(x)(2=f(x)≦4)
8-2f(x)
2≦f(x) ≦4 となるxの範囲
変域ごとにグラフをかく。
(1) のグラフから, f(x)
の変域は
0≦x<1のとき
0≦f(x) <2
解答
(0≦f(x)<2)
よって, (1) のグラフから
0≦x<1のとき
f(f(x))=2f(x)=2.2x=4x
1≦x≦3のとき
1≦x<2のとき
f(f(x)) =8-2f(x)=8-2.2x
4
2≦x≦3のとき
3<x≦4のとき
=8-4x
f(f(x))=8-2f(x)=8-2(8-2x)
=4x-8
f(f(x))=2f(x)=2(8-2x)
=16-4x
よって, グラフは図(2)のようになる。
(1)
y
4
(2)
34
4
2f(x)
3x4のとき
0≤f(x)<2
また, 1≦x3のとき,
f(x) の式は
1≦x<2なら
f(x)=2x
2≦x≦3なら
f(x)=8-2x
のように, 2を境にして
式が異なるため, (2) は左
の解答のような合計4通
りの場合分けが必要に
なってくる。
0 1 2 3 4 X
0 1 2 3 4
X
参考 (2) のグラフは、式の意味を考える方法でかくこともできる
[1] f(x) が2未満なら2倍する。
ya
8から2倍を
引く
4
[2] f(x) が2以上4以下なら, 8から2倍を引く。
[右の図で、黒の太線・細線部分がy=f(x), 赤の実線部分が
2
y=f(f(x)) のグラフである。] なお, f(f(x)) f(x) f(x) の
合成関数 といい, (ff) (x) と書く (詳しくは数学Ⅲで学ぶ)。
0
4 X
2倍する
