(2)の解説の判別式を求めるところまで分かりましたがそれ以降が分かりません、、

56 例題 134 曲線の通過領域 [3] 思考プロセス D ★ を実数とするとき, 方程式 Ch:x2+y+x+ (2k+1)y+k+1=0を考 える。 X=x (1) C が表す図形が存在するようなkの値の範囲を求めよ。 (2) C が表す図形の通過する領域を座標平面上に図示せよ。 (早稲田大改) (1) Ck:x2+y2+x+(2k+1)y+k+1= 0 XS 平方完成 (2) p.233 探究例題6と同様に,y=にしたとき, y座標の値の範囲が考えにくい ← ( x − )² + (y - )² = 0 図形を表す条件は? 「逆像法」で考える。 保法」 « Re Action 曲線の通過領域は、任意定数が実数解をもつ条件を考えよ 例題 132 見方を変える 1+ XS 図形 Ck: x2+y2+x+ (2k+1)y +k+1 = 0 が点 (X, Y) を通る。(X, Y)の ⇒ X2+ Y2+ X + (2k+1) +k+1=0を満たす実数んが (1) で求めた範囲に存在する。 kの2次方程式 k +2Yk+ X2+ Y' + X + Y+1=0 を満たす実数解んが (1) で求 めた範囲に存在する。 解 (1) x° + y° + x + (2k+1)y + k + 1 = 0 より (x+1/2)+(x+ =k-- (右辺) > 0 のとき円を 2 2 よって, 方程式 Ck が図形を表すようなんの値の範囲は (右辺)=0のとき点を表 す。 k- 1 2 ≥O 1 したがって k ≥ 2 830 Agton LA 100 () 1 (2)(1)より,k≧ 2 のとき方程式 Ckが表す図形が存在 する。 図形 C が点 (X, Y) を通るとすると IA 112 X2+ Y2 + X + (2k+1) +k + 1 = 0 すなわち X2 k+2Yk + X2+Y+X+Y+1=0 ... ① 点(X, Y) の集合(領域) を求めるために,XとY の関係式を導く。 を満たす実数んが≧ に存在する。 2 Action f(k) = k +2Yk+ X + Y + X + Y + 1 とし①の判別 式をDとすると 「不 れた の 等式に分けて考えよ」 D D=Y2-(X2+Y2+X+Y+1)=-X°-X-Y-1 4 X+ ここで(1/2)(x+1/21)+( + (Y+1) ≧ 0 であるから ① を満たす実数が に存在するとき 0 1 12 y=f(k)

すなわちからどうやって考えてるかわかりません

演習問題 146 u=(2cos0+3sin0, cos0+4sin) の大きさの最大値と、 そのときの0の値を求めよ. ただし, 0≧≦ とする.

マーカーの部分が分かりません。

3 π n 134 1のη乗根と COS の値 nano★★★☆ 2 COS 25 -π+isin- 2 とする。 ① A 自 2,1+α+α+α°+α*, 1 + a + a² + α+ (α) の値を求めよ。 COS 2 5 ーの値を求めよ。 [ (1) 1+α+α°+°+α^ 因数分解 x-1=(x-1)(x^+x+x'+x+1) を利用。 前問の結果の利用 αとの関係αalaを利用 1+α+α°+α+(a) をつくる。 niei Action» α-1+α"-2+ 2 (2) COSπ= 209 +α+1は, α-1の因数分解を利用せよ 2 (α の実部)αの式でcosを表すと? Action» αの実部は、 1/2(+α)を考えよBa 9 複素数平面 5 (1) a³ = (cos-2/ COS π+isin = π cos2лisin2 = 1 ド・モアブルの定理 これより a5-1 = 0 よって(+1) (a^+α+α+α+1)= 0 α≠1であるから 1 +α+α+α°+α^= 0 |a|=1 より |α|21 であるから a a = 1 よって, α = であるから 1 a 1+a+a² + a +(a)² = 1+a+a²+ x = COS 25 = + 1 1 a 1+α+α°+°+α^ = 0 12/2/2x=1/2(+α)である π とおくと, COS から a+a = 2x ... ① また 5 a²+(a)²=(a+a)2-2a a=4x²-2 (1)より, 1 + (+α)+{a°+(a)}=0 であるから, ①,② を代入すると x = COS 2 5 54x2+2x-1=0 > 0 であるから 2 -1+√5 cosπ = −1+ COS 一般に x-1 =(x-1)(xn-1+xn-2 = COS' nies 1 2 +･･･+1) nisin 201 1+a+a+a+a=0 を代入する。 aa= lal=1 -1±√5 x= 4 2 10より 5 0<cos <1 2

何となく同じ長さになりそうだなとは思うんですけど、Y＝－1から垂直のところが同じ長さだと分かるんですか？？お願いします

(0,1) からの距離と直線 y=-1からの距離が等しくなるような点 Qの軌跡を 求めよ.

この問題の2番マーカー引いているところがどうしてそうなったのか分からないので教えてほしいです！！！

252 第9章 整数の性質 基礎問 150 整数問題 (I) (1) g-p2g+2を因数分解せよ. ○ (2) 2+1=1 をみたす整数の組 (p, g) を求めよ。 × q 011

(2)の黄色マーカー🟡部分が分かりません。なぜこのように場合分けをするのか、教えてください🙇‍♀️

例題 122 ガウス記号を含む式の値★★★★ 実数xに対して,x以下の最大の整数を [x]で表す。 (1) 1/4 3 3 3 <x<5 のとき,[x]-[2 [x]] の値を求めよ。 (2) すべての実数xについて [121]-[12/21x]] =0 を示せ (3)nを正の整数とする。実数xについて [x][x]] よ。 = [x](1) in の値を求め (早稲田大)

マーカーを引いたところが分かりません！ 式の中に±の記号もつ数が複数ありますがどのタイミング？でプラスなのかマイナスなのかが分かりません。 また、nはなぜ3の倍数とかに場合訳されているのか分かりません。

例題 130 z" + 1 の値 ★★★ zn (1) 複素数が2+ = √3 を満たすとき,230 + 2.30 の値を求めよ。 Z 1 (2)複素数がz+ 1 を満たすとき, w = z" + zn の値を求めよ。 2 ただし, nは整数とする。 思考プロセス 30 2+12/21=(2+1)と考えるのは大変。 (1) z30+ « ReAction 複素数の几乗は,極形式で表してドモアブルの定理を用いよ 例題12 具体的に考える 1 2 z+ √3より -√3+1= 0 1 解 (1) + = 2 よって 2 = 極形式 2 = √3より -√3z+1=0 √3 ±√(-√3)-4・1・1 3 土 2 1 2 -i cos()+ 2 π cos(土)+isin (±)(複号同順 6 このとき,ドモアブルの定理により 2.30 -{cos(土)+isin()} 30 =cOS (±5) +isin (±5) (複号同順) = =-1 1 ゆえに 1 = したがって 230 '+ 1 2.30 =-1-1 = -2 (2)z+ 1 - より 2 z+z+1=0 よって 解の公式 5π=π+2.2π (cos(-) = cost lsin(0)=sind -1±√3i 2 = 2 = ± cos(1/2/3)+isin (12/31) (同順) 土 このとき,ドモアブルの定理により 1 an w=z+ = 2"+2" 256 2次方程式の解の公式を 使用いてzの値を求める。 y √3 32 2. 10 2 21 9 2

（2）を画像2枚目のように解いたのですが、この考え方ではダメですか？ あと、どこから間違えているのか教えてください。

基本 例題 26 分数の数列の和の応用 次の数列の和Sを求めよ。 1 1 9 K-1 n(n+1)(n+2) 1･2･3'2･3･4'3・4・5' 1 1 1+√3' √√2+√4' √3+√√5' (1) (2) 指針 ① 第k項を差の形で表す。 ...... [ 類 一橋大 ] 1 (n≥2) ✓n+√n+2 ② ①で作った式にk=1,2,3 3 辺々を加えると、隣り合う項が消える。 基本25 n を代入。 (1) 基本例題 25 と方針は同じ。 まず,第に項を部分分数に分解する。 分母の因数が 3つのときは、解答のように2つずつ組み合わせる。 1 k(k+1) を計算すると = (k+1)(k+2) 1 2 よって k(k+1)(k+2) k(k+1)(k+2) -1/2 (k+1)(+1)(x+2)} (2)第ん項の分母を有理化すると,差の形で表される。 1 k(k+1)(k+2) = {k(k+1) (k+1) (k+2)} (1) 第項は 解答 であるから (k+1)(k+2) S=12 | | (1½-2-2-3) + (2 1/3 - 3-4)+(314-115) = 2)+(2 + = )(n+2)}] ....+. n(n+1) (n+1)(n+2) 1 1-2 (n+1)(n+2) )(n+2)} 21.2 _1.(n+1)(n+2)-2 2(n+1)(n+2) (2)第項は 部分分数に分解する。 途中が消えて,最初と最後 だけが残る。 検討 次の変形はよく利用される。 1 k(k+1)(k+2) n(n+3) 4(n+1)(n+2) 1 1 = (k+1) (k+2)] √k-√√k+2 √k + √k + 2 = (√k + √k + 2) (√k - √k+2) 1/2(k+2-√k) であるから S=1/2((-1)+(V-√2)+(-1) ++(√n+1-n-1)+(n+2-Vn)} = =1/12 (√n+1+√n+2-1-√2 ) 次の数列の 2k(k+1) (k+1)(k+2) 分母の有理化。 分 途中の±√3+√4, ±√5,........±√n-1, ±√n が消える。 Any th

はてなのところがわかりません

について 問題151 とも, a+と-のなす角はともに今では単位ベクト ルとする。このとき, a を求めよ.

次の(2)の問題で何故青線のように言えるのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

数学C 2次曲線 106 楕円の接線の応用 (1) 直線y=mx+nが楕円 C:x+ -1に接するための条件をm, n を用いて表せ. (2) C: x²+ =1の直交する2つの接線の交点の軌跡を求めよ. 解答) (1) y=ax+(Y-Xa), y=Bx + (Y-XB) 数学C 2次曲線 となり、これらが直交するとき、傾きについて、 aβ= -1 ・・・⑦ が成り立つ もし、⑥がm=pqi (p,qは実数で、g0) という虚数解をもつとすると、2解の積は、 ここでα. Bは⑥の解であるから, 解と係数の関係より, 1-X2 となるので、これと⑦から、 (島根大) -Y2+4 1-X2 =-1 -Y'+4= -1+ X' X2+Y2=5 よって、点Pの軌跡は, (p+qi)(p-qi) p²+q'>0 となるよって⑦が成り立つとき、 2解の積は 正でないので、 ⑥の2解α. βは必ず実数になる。 したがって、 ⑥の判別式を調べる必要はない x+y2=5 (ただし, xキ±1) で求めた4点 (1,2) (1,2) (12) (-1,-2)は,いずれも円x+y'=5上の点で ある. したがって, (ア)(イ)より, 求める軌跡は、 x+y2=5 √5 0 x+2=1…①, y=mx+n…② m +40 なので ③は ① ② からy を消去すると, 4x2+(mx+n)=4 ③の判別式をDとすると, 2次方程式である (m²+4)x2+2mnx+n2-4=0.③ =(mn)² - (m²+4)(n²-4)=4m² −4n²+16 楕円を題材とした有名な応用問題である. (1) は,直線の式が与えられているので、ここま でで学習したように、「2次曲線と直線の式を連立してD=0とする」 という方針でと の関係を容易に得ることができる. ①と②が接するための条件は、 21/17-1 D 4m² -4n² +16=0 -=0が成り立つことであるから, mn"+40 ...④ 解説講義) (ア) (2) 直交する2本の接線を との交点をP(X, Y) とする.. とし、 が座標軸に平行であるとき y ム, がx=1,y=2のとき,P(1,2) 4. がx= 1, y=-2のとき,P(1,2) . がx=-1, y=2のとき,P(-1, 2) ・ がx=-1, y=-2のとき,P(-1,-2) (イ)が座標軸に平行でないとき -1 0 P(X, Y) を通るCの接線を,傾きをmとして, y-Y=m(x-X) すなわち y=mx+ (Y-Xm) ⑤ とおく ⑤ が Cに接するための条件は、④の 2 12 (P(X, Y) nをXXm とすると |1 →x 0 m-(-Xm)'+4=0 m²-(Y2-2XYm+ X'm²)+4 = 0 (1-X2)m² +2XYm-Y2 + 4 = 0 6 X≠±1より, 1-X2≠0 であるから, ⑥はmについての2次方程式である。 ⑥ の実数解をm=α β とすると, 2本の接線は, ⑤より (2)では、2本の接線の交点をP(X, Y) とすると,2本の接線はどちらも点Pを通るので、 傾きをmとして、接線を ⑤ のように設定する. (1) の結果を利用すると, ⑤ が楕円Cに接 するためには、傾きが⑥を満たさなければいけないことが分かる. もし、 2次方程式 ⑥ のがm=3-2であったとすると, Pから引いた2本の接線の傾きは3と2であるか 5. 2本の接線は直交しない。一方, ⑥の解がm=3.4であったとすると、Pから引い た2本の接線の傾きは3とであるから,「(傾きの積)=-1」が成り立ち、2本の接線 は直交する. したがって、⑥の解を α, β としたときに 「αβ-1」 が成り立てばよく、解と係数の関 係を用いることで, X, Yの満たす関係を手に入れることができ, Pの軌跡が求められる。 ただし、解答の(ア)(イ)のように場合分けをする必要があり、ややレベルの高い問題である。 なお、点Pの軌跡である円x+y=5は、楕円の「準円」 と呼ばれるものである。 数学 Cの必勝ポイント 2次曲線の接線のまとめ (I) 接線の公式を使う (Ⅱ)2次曲線と直線の式を連立してD=0とする