例題 228 関数の決定(2)
(
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(1)関数f(x)がf(t)dt=x'+x2+x+1 を満たすとき,f(1) の値を求
めよ.また,実数の定数αの値を求めよ.
f(t)dt=x-x+α を満たすとき,f(x)と定数αの
(駒澤大)
変数
値を求めよ.
考え方 Sf(t) dt は、 上端が変数 x なので、原始関数F (t) に変数 x
と定数αを代入することになり,xについての関数となる.
これをxについて微分すると,
例題
関
求め
考え方
解答
aff(t)dt=dx[F(1) -1(F(x)-F (a)}=F'(x)=f(x)
=(x関数)
www
m
となることを利用する.
Ja
(1)与式の両辺を微分すると,cxSf(t) dt=ax(x+x++)
より,f(x)=3x2+2x + 1
よって,f(1)=3・1°+2・1+1=6 [
またSf(t) dt=0 であるから,与式の両辺の上端のに下端と同じ衛』
xにαを代入して
0=a'+α2+a+1
(a+1)(a+1)=0
を入れて,
Sf(t)dt=0
(2) Sf(t) dt=-Sf(t)at より与式は
aは実数だから a2+1 ¥0 より a=-1
J
=dを利用する.
Soft)at S
f(t) dt
f(t)dt=-(x²-x+a)
1.81 を利用して, 変数 xが上
両辺をxで微分すると,
より、
aSf(t)dt=ax (x+x-a)
f(x)=-2x+1
また,f(t) dt=0 であるから,与式の両辺
1 を代入して0=(-
よって,
Focus
a=-2
1
になるようにする.
下端の定数に関係なく
Sf(t)dt=f(x)
x = -1 を代入する.
fred=0を利用する
)=0
結羽
aff(t)du=f(x) (aは定数)
