(4)の解説でなんで割ったら最小値が求められるのかわからないので教えて欲しいです!!

基礎問 256 第8章 ベクトル 165 四面体 (Ⅱ) 座標空間に2点A(2, 2, 3), B(4, 3, 5) をとり,ABを1辺と する正四面体 ABCD を考える. (1) AB, AB AC を求めよ。 (2) 辺AB をt (1-t) に内分する点をPとするとき,PC・PD |PC をt で表せ. △ (3) ∠CPD=0 とおくとき, coseをtで表せ。 (4) cose の最小値と,そのときのtの値を求めよ。 精講 (1) AとBしか与えられていないのに, AB AC が求まるのか?と 思った人は問題文の読み方が足りません。 「正四面体」と書いてあります. 正四面体とは,どのような立体 でしょうか. (2)164のポイントにあるように, 平面 PCD で切って平面の問題にいいか ます。 (3)空間でも, ベクトルのなす角の定義は同じです. 解答 正四面体だから (1) AB= (2,1,2) だから,20 |AB|=√4+1+4=3 また, △ABCは正三角形だから, ∠BAC= =2, |AC|=|AB|=3 :.AB.AC=|AB||AC|cos/5 3 1 9 =3.3. 2 2 (2) PC=AC-AP=AC-tAB PD=AD-AP=AD-tAB B △ACD, △ABDも正三角形だから AC·AD=AB·AD=AB·AC= 9 1-10 正四面体の性質 2 よって、PC・PD=912-9t+2 9 また,|PC|=|AC-tAB|=|AC|-2tAB・AC+AB 257 A 92-9t+9 (3)|PD|=|AD-tAB=92-9t+9 だから 正四面体だから (1) PC・PD 18t2-18t+9 cos = |PC|PD| 2(912-9t+9) 2t2-2t+1 2t2-2t+2 (4) cos0=1- 1 COS 212-2t+2 すべて等し距離 品 1 +- + 2 <わり算をすることで, 分子の次数を下げる 1 よって,t=1/2 のとき,最小値 1/3 ポイント 正四面体とは, 4つの面がすべて合同な正三角形であ る四面体 注 正三角すいと正四面体は異なります. 正三角すいとは, 右図のように, A 1つの面は正三角形, その他の面は, 合同な二等辺三角形であるような四面 体です. B 1-t 演習問題 165 ・PC・PD=(AC-AB) (AD-AB) =AC・AD-tAB・AC-tAB・AD+LAB 1 正四面体 ABCD の辺 AB, CD の中点をそれぞれ, M, Nとし, 線分 MN の中点を G, ∠AGB=0 とするとき, AB=2 として次の 問いに答えよ. (1) GA, GB を AB, AC, AD を用いて表せ. (2)|GA, GB GA・GB の値を求めよ. (3) cose の値を求めよ. このとき 第8章

解説の線が引いてあるところがどうしてなのか教えて欲しいです!!

255 ( 基礎問 254 第8章 ベクトル 164 四面体 (I) D-140 四面体 OABC において, AC の中点をP, PBの中点をQとし CQ の延長と ABとの交点をRとする. (1) OA=d, OB=LOC=c とするとき,OQ を a,b,cを用 いて表せ. (2) AR: RB, CQ: QR を求めよ. 精講 01+1 空間では平面と異なり, 基本になるベクトルが3つ必要です(ただ この3つのベクトルは0ではなく, 同一平面上にないベクトル です)。しかし,分点や重心に関する公式などはまったく同じです。 また,空間図形を扱う上でのキーポイントは, 3 .. 1- s=0 .. 4 S= 3 よって, OR=- =1321+6=0A+20 AR: RB=2:1 3 また,OR=OC+/CQ より CR=CQ .. CQQR=3:1 == arth B ◆分点公式の形 A-HA JEA 1):18AM (別解)(2)(要求は△ABC上の点に関するものだから......) (1)より40Q=OA+2OB+OC .. 4(CQ-CO) 106505.5 ... =CA-CO+2(CB-CO)-CO 4CQ=CA+2CB 2 CQ-CA+CB 4 よって, CR=CQ=44CA+2kCB 6-07 C P 10 第8章 空間といえども、どこかで切り出せば平面になる R B ということです. 解答 (1) 0Q=(OB+OP) = △OPBの平面で 3点 A, R, B は一直線上にあるので, k 141 II 考える 4+28-1 2k 4 k= 3 OP=(OA+OC) HALT. OQ=OB++ (OA+OC) -+6+ = (2) OR=OC+sCQ と表せて CQ=0Q-OC=1 +16-3 OR=+s(+63) 2 3s ++(13) ここで, OR は △OAB上のベクトルだから, この係数 = 0 0 b' よって, CR=/1/3CA+/CB となり, AR:RB=2:1 a B また,CR=138CQ より CQ:QR=3:1 R C P A Rは直線 CQ 上 A ポイント 空間といえども、 ある平面で切って考えれば平面の考 え方が通用する 演習問題 164 ポイント 四面体 OABC において 辺ABを12に内分する点を D, 線分 CD を3:5に内分する点をE, 線分 OE を1:3に内分する点をF, 直線 AF が平面 OBC と交わる点をGとするとき、次の問いに答えよ. (1) OE, OF, OA, OB, OC *t. (2) AGFG を求めよ.

ィの解説の(iii)でなんで-の方も成り立つのですか？

163 直方体 右図のような直方体 OADB-CEFG において OA=a, OB=6,DC=c とおく. \G F P ||=1,|6|=2, ||=3 とし, 2点E, Gを通る C 直線を とする. E (1) OE, OG を で表せ (2)Pを1上の点とする. このとき, OPは実数 tを用いて, OP =OE+tEG と表せる。 (ア) OP⊥EGとなるtの値を求めよ. (イ)△OEP が二等辺三角形となるときの 値をすべて求めよ. 3 B O 2 b a 1 A AA D ()() (2) (ア) OP, EG (=OG-OE) を a, L, で表し,|a|=1,||=2, 精講 ||=3, a1=c=cd=0 を用いて計算すれば, tの方程式が でてきます. これを解けば答えはでてきます. (イ) 二等辺三角形という条件は要注意です. それはどの2辺が等しいかによっ て,3つの場合が考えられるからです。 注 →3つの場合でしらべる 三辺の距離を求める (イ)|OE|=12+32=10 |OP|=|(1-t)a+t+c (1) 画 =(1−t)|a²+b²+1c1² (a+b=b.c=c.a=0) J30=12-21+1+4t²+9=5t²-2t+10 |EP|=|tEG|2=5t2 ← (i) OE OP のとき, OEPOP より,エース 253 10=5t2-2t+10 t(5t-2)=0.. t = // (t=0は不適 (OPEP のとき,|OP|=|EP|より 5t2-2t+10=5t2 2t+10=0 :.t=5 POE のとき,|EP|=|OÉRより,平日 5t2=10 t2=2. t=±√2 (1)〜() より t=±√2, 5' (2) 直方体では, 座標も有効な手段です. すなわち, A (1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) とおくと, EG=AB だから OP= (1,0,3)+t(-1,2,0)=(-t+1, 2t3) と表せ, P(-t+1, 2t, 3), E (1, 0, 3) と座標で表して, OP2, EP2, OE' を計 算します。 解答 (1) OE=OA+OC=d+c OG=OB+OC=6+ (2) (ア)OP=OE+tEGOE+(OG-OE) =a+c+t(-a) =(1−t)a+to+c OPEG = 0 だから {(1-t)a+to+c)(-a)=0 . (t−1)|at|62=0 ||=1,||=2より t-1+4t=0 5 ( à·b=b.c=c·à=0) ポイント単に「二等辺三角形」「直角三角形」 とあったら, 場合 が3種類あることに注意 演習問題 163 右図の直方体において, AG = (5, 5, -3), H G AC=(3,1,2), BH=(3,1,-7) が成りた っている. (1) AB, AD, AE を成分で表せ. (2)直線AH 上に, △ABP が二等辺三角形 A となるように点Pをとる. (ア) <BAH= を示せ. (イ) A=tA となる実数tの値を求めよ. Di F 第8章

かいせつのAB²＝14はどうやって求めるんですか？ あと①②の部分はどういう意味か教えて欲しいです！

基礎問 160 空間座標 2A -1, 2), B1, 1, 3) に対して,次の座標を求めよ. (1) 線分ABを2:1 に内分する点C (2) 線分ABを2:1 に外分する点D (3)△ABE が正三角形で, xy 平面上にある点E 精講 空間座標と平面座標の違いは、 座標の有無だけでその他の公式は まったく同様に扱えます . (3) xy 平面上の点 座標=0 41+12 (1) 1+1・22・1+3・2 (4.1+1-2 |31 2+1 (1) C( 2+1 . c(2, 13, 1910) 8 3'3 (4(-1)+1・2 (−1)・(-1)+1・2 2(-1)+3・2 (2) D 2-1 , 2-1 2-1 .. D(-2,3,4) (x-4)2+(y+1)+4=14 (x-1)2+(y-1)2+9=14 (3)E(x, y, 0) とおくと, AB2=14 より x2+y2-8x+2y+7=0 .r'ty2-2x-2y-3=0 ポイント ① ② 3x-5 ①-② より, y= 2 これを②に代入して整理すると (13-11)(x-3)=0 .. x= 11 3 13' よって,E(13-158.0),3,2,0) 16 ポイント空間座標で用いる公式は, 平面座標の公式に座標をつけ加えればよい 演習問題 160 3点A(1, 2, 2), B(3, 1, 2), C(2,1 √5 の距離にあ

解説の右上のOCベクトルとpベクトルの内積でなんで-√3k/2となるんですか？OCベクトルはどこの部分か分からないので教えて欲しいです!! あと(3)でなんでOCベクトルの部分が-1されてるんですか？

246 第8章 ベクトル 基礎問 159 ベクトルと図形 平面上に1辺の長さがんの正方形 OABC = がある.この平面上に ∠AOP=" ∠COP=- 57, OP=1となる点P をとり, 6' 線分AP の中点をMとする. kで割った(でないから) k0 だから, 2ks+t=0 1161 ......① 次に,OC･=|OC||||cos_57 6 2 -k だから 一 2(sa+tp).p=-√3k 2(sat)=√3k ks+2t=-√3k ①,②より,s=1,2,3に 247 t=- M OA=d, OP = b とおいて, 次の問いに答えよ。 D よって, OC=- 2√3 -a 3 3 P 注 OP=mOA+nOC とおいて, 解答と同じようにして,m, n を求 (1) 線分 OM の長さをんを用いて表せ. (2) OC を用いて表せ. (3) AC と OM が平行になるときのんの値を求めよ. 精講 (1)基本になる2つのベクトル a, に対して, lal, pl, apがわ かるので,OMをa, p で表せれば解決です (152) あるいは、 AP を求めて中線定理 (IA81) を使う手もあります。 (2) 内積がからみそう (角度の条件があるから)なのでOC=sa+tp とおい てスタートします。 (3) AC, OM をa, p で表して, 係数の比が等しくなることを使います. めたあと, 「OC=･･」と変形する方が少し計算がラクになります. (3)AC=OC-OA= A=(√3-1)ā – 2√3 kD <ポイント OM=1/21+1/23より,ACOM のとき 3 -1=- 3 3 √3-1 = 2 (1)OM= a+p 2 解答 分点1 「 IOMP=117+6P=12(+246+16円) ||=k,||=1, 1.5=||||cos = 1 3 2 だから k2+k+1 ki+k+1 OM= 4 2 ~垂直だから (2) OC=sa + tp とおくと, OC a =0 だから (sa+tp)・a=0 45+51:07. 2k's+ht=0 ..sla²+ta p=0 150 ポイント a = 0, 60, ax のとき ma+nbm'a+n'b (mnm'n'+0) ←m:n=m':n' 演習問題 159 O 平面上の3点A(2, a) (3<a<10), B(1, 2), C(6, 3) について, 次の問いに答えよ. (1) 四角形ABCD が平行四辺形のとき, Dの座標をαで表せ. (2) (1) のとき, 直線AD上の点Eで CD=CE となるものを求め、 EがADの内分点であることを示せ. ただし, E≠D とする. (3)2つの四角形ABCD と四角形ABCEの面積比が4:3のと き, αの値を求めよ. Imke

助動詞の文をつくる問題です。教えてください。🙇🏻‍♀️

Put the Japanese sentences into English. 1) あのレストランのカレーはおいしいよ。 試してみたほうがいいよ。 That restaurant's curry is really good. You 2) サヤは今、家にいるだろう。 1時間ほど前にここを出たから。 Saya 3) トモキは頑張って勉強してきたから、試験に受かるはずだ。 Tomoki has been studying hard, so 4) このドア, なかなか開かないんだ。 一手伝おうか? 5)いつお会いしましょうか? 今週は忙しいんです。 now. She left here about an hour ago.

uベクトル＝‪√‬10Cベクトル/|Cベクトル| のところでなんでかけてるんですか??ここの部分を詳しく説明して欲しいです!!

147 角の2等分ベクトルの扱い (I) =(1,1), 6=(1, 7) とするとき,aとのなす角を2等分す るベクトルのうち,大きさが10のベクトルを求めよ. 231 角の2等分ベクトルの扱い方は2通りあり、1つ 147で,もう1つが148 です.これらはどちら とも大切で、状況によって使い分けられるように ならなければなりません. b b 解答 方 とものなす角を2等分するベクトルの1つは + ポイント | | |6| これをことおくと,||=√2,16|=5√2 であるから 08 a =1+1=(1/11/12)+(5/25) 7 は 145 同 '6| じ向きの単位ベクト 6 12 5√252 ここで、11=11/12/ 6 ・+2 == よって, 10 || 10 6 12 65V/25/2/2)=(v2.2/2) 6√5 == 6 5√2 √10 ル まず大きさを1に しておいて,そのあ と10倍する ポイント 演習問題 147 a,のなす角を2等分するベクトルの1つは a b で表される a b AT-01·1A =(34) = (512) とするとき,ことのなす角を2等分す ある単位ベクトルを求めよ. 第8章

この解説の(2)(3)がよく分からないので教えて欲しいです！

144 第6章 微分法と積分法 基礎問 90 共通接線 5/5 2つの曲線 C: y=x3, D:y=x2+pr+g がある (1) C上の点P(a, d3) における接線を求めよ (2) 曲線DはPを通り,DのPにおける接線はと一致する。こ のとき,p,q をαで表せ) 小 (3) (2)のとき, D軸に接するようなαの値を求めよ。 (2)2つの曲線 C,Dが共通の接線をもっているということです が,共通接線には次の2つの形があります 精講 (I型) (Ⅱ型) y=f(x)=g(x)y=f(x) y=g(z) Qi P アイは一致するので, 3d²=2a+p, -20°=q-a 1, p=3a²-2a, q=-2a+a² y = ( x + 2² )² + q = b² だから, 曲線 (3) D:y=(x+ 4 Dがx軸に接するとき,頂点のy座標は 0 . -=0 4 4q-p²=0 よって, 4(-2a3+α2)-(3a2-2a)=0 4a²(−2a+1)-α(3a-2)2=0 a^{-8a+4-(9a2-12a+4)}=0 a³(9a-4)=0 <x²+px+q=0 の 145 (判別式) =0 でもよい 展開しないで共通因数 でくくる 4 .. a=0, 9 注 a=0が答の1つになること は,図をかけば軸が共通接線 であることから予想がつきます. 20 YA C 10 (2)はポイントを使うと次のようになります。 a α 違いは、接点が一致しているか, 一致していないかで,この問題は接点がP で一致しているので(I型)になります。 小 入 どちらの型も、接線をそれぞれ求めて傾きとy切片がともに一致すると考え れば答をだせますが, (I型)についてはポイントの公式を覚えておいた方が よいでしょう. 解答は,この公式を知らないという前提で作ってあります. 解答 (1)y=xより,y'=3m² だから,P(a, α) における接線は, y-a³=3a²(x-a) :.l:y=3ax-2α° ......ア C (2)PはD上にあるので,a+pa+g=a ...... ① PEDESTA 86 また,y=x+px+α より y'=2x+pだから,ませ Pにおける接線は,y-a=(a+b)(x-a) :.l:y=(2a+p)x+α-202-pa y=(2a+p)x+q-a² ......(*) y-f(t) f(x)=x, g(x)=x+px+g とおくと f'(x)=3x2, g'(x)=2x+p [ a³=a²+pa+q 13a2=2a+p p=3a2-2a よって, g= -2a3+α2 ポイント 2つの曲線 y=f(x) と y=g(x) 共有し, その点における接線が一致する f(t)=g(t) かつ f'(t)=g'(t) 点 (t, f(t)) を 演習問題 90 第6章 関数 f(x)=x^2とg(x)=-x+αのグラフが点Pを共有 し、点Pにおける接線が一致する。このとき,aの値とPの座標を 求めよ. Inn Hml

（2）の解き方が分かりません💦 解説お願いします🙏 答えは30通りです！

多面体の各面を,次のように塗り分けるとき, 塗り方の総数を求めよ。 なお、多面体を 転して各面の塗り方が一致すれば同じ塗り方とみなす。 (1) 正四角錐の5個の面を, 赤青黄白緑の5色で塗り分ける。 (2) 立方体の6個の面を, 赤青黄白緑黒の6色で塗り分ける。

(2)の解説でn+1/2{(2n+1)+1}というのはどこから来ましたか？？公式はわかるんですが数字がどっから来たのか分からないので教えて欲しいです!!

基礎問 206 第7章 数 列 133 格子点の個数 3つの不等式x0,y≧02x+y=2n (nは自然数)で表さ れる領域をDとする. (1)Dに含まれ,直線 z=k (k=0, 1,..,n) 上にある格子点 (x座標もy座標も整数の点)の個数をんで表せ. (2) Dに含まれる格子点の総数をnで表せ. (別解) 直線 y=2k (k=0, 1, ..., n) 上の 格子点は (0,2k), (1,2k), ... (n-k2k の (n-k+1) 個. また,直線 y=2k-1 (k=1, 2,...,n) 上の 格子点は (0, 2k-1), (1, 2k-1), …, (n-k, 2k-1) の (n+1) 個. よって, 格子点の総数は y 2n 207 y=2k 精講 計算の応用例として, 格子点の個数を求める問題があります。こ れは様々なレベルの大学で入試問題として出題されています。 格子点の含まれている領域が具体的に表されていれば図をかいて数 え上げることもできますが,このように, nが入ってくると数える手段を知ら ないと解答できません. その手段とは,ポイントに書いてある考え方です。 ポイントによれば, 直線 y=k でもできそうに書いてありますが、こちらを 使った解答は (別解) で確認してください. k=1 (n-k+1)+(n-k+1) い k=0 k=1 y-2k-1 2-(n-k+1)+(n+1) n 0 '\n-k++ x =n(n+1)+(n+1) =(n+1)(n+1) 12群 =(n+1)2 第 注 y=2k とy=2k-1 に分ける理由は直線 y=k と2x+y=2n の交点を求めると,(カー1k)となり,n-1がkの偶奇によって 20 整数になる場合と整数にならない場合があるからです。 解答 (1) 直線 =k上にある格子点は 例)(24)だった場合 (k, 0), (k, 1),, (k, 2n-2k) 1 8 3 5 0 0 Wy For 2n x=k 24-2 ポイントある領域内の格子点の総数を求めるとき の (2n-2k+1 個. 2n-2k 注 座標だけを見ていくと, 個数がわかります. I. 直線 x=k (または, y=k) 上の格子点の個数を kで表す (2)(1)の結果に,k=0, 1, n を代入して すべ 0 Ⅱ.Iの結果について計算をする て加えたものが、Dに含まれる格子点の総数. y=-2x+7h = (2n-2k+1) =24721 第7章 ◆ 等差数列 2 +1{(2n+1)+1} 等差数列の和の公式 = (n+1)2 演習問題 133 注 Σ計算をする式がkの1次式のとき, その式は等差数列の和を表 k=0 k=0 ろん、Σ(2n+1)-22k として計算してもかまいません。 しているので,212 (atan) (12) を使って計算していますが,もち 放物線y=x2 ① と直線y=n² (nは自然数 ...... ② がある. ①と② で囲まれた部分 (境界も含む)をM とする. このと 次の問いに答えよ. (1) 直線 z=k (k=1, 2,...,n) 上のM内の格子点の個数をn, んで表せ. (2) M内の格子点の総数をnで表せ.