100 第3章 図形
応用問題 1
点(-1, 0) を通る傾きmの直線を1とし, Zが曲線C:y=x' と異な
る2点PQで交わっているとする.
(1) のとり得る値の範囲を求めよ.
(2) 2点P、Qの中点の軌跡を求めよ.
2点P, Qの中点をM(X,Y) とし,X,Yをmを用いて表すこ
とを考えましょう. はすべての実数を動くわけではなく、1)で
精講
求められる変域がついてくることに注意してください.
解答
C:y=x2
(10) を通る傾きmの直線の方程式は
y-0=m{x-(-1)} すなわち y=mx+m.......②
① ② よりを消去すると
x2=mx+m, x2-mx-m=0
....?) (x)=x HAN A
Cととが異なる2点で交わるための条件は, ③ が異なる2つの実数解を
もつことである. ③の判別式をDとすると, その条件は D>0,すなわち
m²+4m>0
m(m+4) > 0 m<-4.0cm 3
Pitial
(2) ③の異なる2つの実数解をα,βとすると, P(α, α2) Q(B, B2)
とおける線分PQの中点をM (X,Y) とおくと
X=a+B₁
a²+B²
2
2
解と係数の関係より,α+β=m,aβ=-mなので,
......4
X =
Y =
m
2
Y=
Y=
2
④ より, m=2X. これを ⑤ に代入して,
(a+β)2-2aß_m²+2m
(2X)²+2(2X)
2
4-1 4-X =
(1)より,<-4,0<m なので
2
-=2X2+2X
･⑤
を消去
2X<-4, 0 <2X すなわち X < -2, 0 < X
以上より,求める軌跡は放物線の一部y=2x²+2x
媒介変数表示
mの変域を
Xに引き継ぐ
(x<-2,0<x)
に
O
