516 第8章 図形の性質
例題252 回転体の体積
1辺の長さが24の正四面体 A-BCD を, 辺ABを軸
として1回転させるとき, △ACD が通過する部分の体
積を求めよ.
考え方 △ACD がABを軸として回転するとどうなるかのイメージ
がつかみにくい場合は, ACD を部分的に見てみる.たとえ
ば,辺 AC が ABを軸として回転するとどうなるだろうか.
さらに、 辺CDの中点をNとしたとき, AN が ABを軸とし
て回転するとどうなるか. このように,具体的に考えてみる。
B
A
C
A
AB⊥CM
AB⊥ DM
議酸よって, AB⊥平面 MCD となり,
ABCD
8
N
解答 ABの中点をMとすると, △ABCと△ABD は正三角
形より,
B
APOKAE
したがって, CD 上の任意の点PとAとを結んだ線分 AP
を,ABを軸として1回転させると, Aを頂点とする円錐
の側面になる.
また, △ABC,△ABD は合同な正三角形より, AMCD
はMC=MD の二等辺三角形であるから, CDの中点をN
とすると,点Mと辺CD 上の点を結ぶ線分で最も長いもの
は MD (MC) , 最も短いものはMN である.
取り
SA
RAKES 0040UNON
19TE
****
B
正四面体であることを考えると,辺AD がAB を軸にして回転すると辺 AC の場合と
AB & CC
同じになる
このように考えると, △ACD の動く範囲が見えてくる.
ここで,上の図のように, CからABに垂線を引いたときの AB との交点とNから
ABに垂線を引いたときの交点は一致することを利用する.
A
N
A
D
* TOBA DA
D
N
AT&SHOWI
平面 MCD は回転軸
垂直な平面である.
点PがCDの中点
になるとき, 考え方
のNの場合になる.
ras
