f(x)を定義域で微分可能な関数とします。このとき、 f(x)が極値をもつ ⇔ f'(a)=0 ∧x=aの前後でf(x)の符号が変わる ∧aが定義域に含まれる を満たすaが存在する は真ですか？

数Ⅱの微分法の問題です。(3)について右写真の赤線部で、接線の傾きがf'(0)、f(3a/2)になるのは、t²(2t-3a)=0を解いた結果から出てきてると思うのですが、なぜその結果をf'(x)に代入すると傾きが出てくるのかが分からないので教えて欲しいです。

基礎問 96 接線の本数 曲線 Cty=-x上の点をT(t, ピーt) とする. (1) 点Tにおける接線の方程式を求めよ。 (2)点A(a, b) を通る接線が2本あるとき, a, bのみたす関係式 を求めよ、ただし,a>0, bキα-a とする. (3)(2)のとき、2本の接線が直交するようなα, bの値を求めよ. 精講 (2) 3次関数のグラフに引ける接線の本数は,接点の個数と一致し ますだから、(1)の接線にA(a, b) を代入してできるtの3次方 程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが,このときの 考え方は 95 注で学習済みです。 (3) 未知数が2つあるので,等式を2つ用意します. 1つは(2)で求めてあるので,あと1つですが,それが「接線が直交する」 を式にしたものです。接線の傾きは接点における微分係数 (34) ですから、 2つの接点における微分係数の積=-1 と考えて式を作ります。 解答 (1) f(x)=x-x とおくと, f'(x)=3x²-1 よって, Tにおける接線は, y-(t-t)=(3t2-1)(x-t) ∴.y=(3t2-1)x-2t 186 (2)(1)の接線はA(a, b) を通るので b=(3t2-1)a-2t3 ―は接点のx座標 が2つでてくるなら、(b)を通る2つの接線の .. 2t-3at2+a+b=0 ...... (*)接点がでてくるということ (*) が異なる2つの実数解をもつので, g(t)=2t-3at2+α+b とおくとき, y=g(t) のグラフが,極大値, 極小値をもち, y=x (極大値)×(極小値) = 0 であればよい. (t,t³-t) A(a,b) 95注 g'(t)=6t2-6at=6t(t-a) g'(t)=0 を解くと, t=0, t=α だから

数Ⅲの関数のグラフについてです。 lim(x→2√2-0)y’=-∞とlim(x→+0)y’=2√2をもとめるのはなんでか知りたいです。 yの極限ではなく、y’の極限を求めているのは漸近線とは別の目的があるんですか？？

110 in 重安 例題 光形 (3) 陰関数 00000 方程式y2=x2(8-x2) が定めるxの関数yのグラフの概形をかけ。200 して 問題における便の 次の 基本 107 108 陰関数の形のままではグラフがかけないから、まずy=f(x)の形にする。そして,こ 指針 れまで学習したように,次の点に注意してグラフをかく。 定義域,対称性,増減と極値,凹凸と変曲点, 座標軸との共有点,漸近線 中でも、この問題では対称性がカギをにぎる。 y2=x2(8-x2) において xをxとおいても同じ→y軸に関して対称 y-yとおいても同じx軸に関して対称 →原点に関して対称 185 解答 ...... 方程式でxを-x に, y を -y におき換えてもy2=x2(8-x2) は成り立つから,グラフはx軸, y軸, 原点に関して対称であ る。よって,x0,y≧0の範囲で考えるとめた内容を確認し y=x√8-x2 ■対称性の確認。 これ により, グラフをか く労力を減らす。 ① 12020 8-x≧0 であるから の 0<x<2√2のとき y'=√8-x2+x 28-x2 0≤x≤2√20 -2x 2(4-x2) 2x√8-x²-(4-x2)・ √8-x2 <y=f(x) の形に変形。 ◄x≥0 4 章 = きない 検討 求めるグラフは, y=x√8-x2 のグラフ 135 関数のグラフ -2x 2√8-x2 2x(x2-12) y"=2. 8-x2 (8-x28x2 とy=-x√8-x2 の y' = 0 とすると,0<x<2√2 では また, 0<x<2√2のとき y" <0 x=2 グラフを合わせたもの とも考えられる(この になる。 しても 更に x-2√2-0 x 0 [図1] x+0. yA 4 2 ... 2√2 2つのグラフは,x軸 0x2√2 における関数 ① の増減、凹凸は左下の表のように関して互いに対称)。 limy'=∞, limy'=2√2 〔図2] y J" 0 + 0 2 4 0 -2√2 O 122 x 0 22√2x よって, 0≦x≦2√2 における関数 ① のグラフは [図 1] のようになる。 T ゆえに、対称性により求めるグラフは [図2] のようになる。 coin A . y軸方向に4倍した

1の場合だけ，判別式を使える理由を教えてください

重要 例題 104 物 放物線y=x2+αと円x2+y^2=9について,次のものを求めよ。 (1)この放物線と円が接するとき,定数αの値 (2) 異なる4個の交点をもつような定数αの値の範囲 の 0000 指針 放物線と円の共有点についても,これまで学習した方針 共有点 実数解 接点⇔重解 で考えればよい。 解答 x2=y-a これをx2+y2=9に代入して よって y2+y-a-9=0 ...... ここで,x2+y2=9から [1] 放物線と円が2点 で接する場合 37 この問題では,xを消去して, yの2次方程式(y-a)+y2=9の 実数解 重解を考える。 放物線の頂点はy軸上にあることにも 注意。 (1) 放物線と円が 接する とは,円と放物線が共通の接線をも つことである。この問題では, 右の図のように, 2点で接する 場合と1点で接する場合がある。 (2) 放物線を上下に動かし, (1) の結果も利用して条件を満たす。 αの値の範囲を見極める。 (1)y=x2+α から 1点で 接する 2点で接する 消去すると、yの (y-a)+y2=9+2次方程式が導かれる。 ① x²=9-y²≥000 -3≤y≤3 ****** [1] a=- 4 [2] a=-3 a=3 y 2次方程式 ①②の 範囲にある重解をもつ。 よって, ① の判別式を Dとすると D=0 3 3 3- -3 13 O 0 x -3 13 x -3 0 -3 D=12-4.1 (-a-9) 37 =4a+37 であるから =37 a=- このとき、①の解は y=- [2] 放物線と円が1点で接する場合 以上から 図から,点 (0, 3), (0, -3) で接する場合 4a+37=0 すなわち -12となり、②を満たす。 2次方程式 py2+gy+r=0 解け 37 4

数学に自信のある方 何卒宜しくお願いします

(2)(1) のとき, f(x) に極値があればそれを求めよ. 1 (山梨大) 4 関数 f(x)= -e-ax が x>0 において極値をもつとき,aのとりうる値 x の範囲を求めよ。 thAme (東京電機大) 2 上を占POがPQ=2という関係を保ちながら動く. ま

数学が得意な方よろしくお願いします。数学3日分です。

§ 16 関数の増減と極大 極小 87 • 例題6 関数 f(x)=sinx-a√sinx (0<x<)の極値を求めよ. (島根大)

数学の問題です。以下の問題の答えは合っているか、 間違っている場合、どこが間違っているか、指摘して頂きたいです🙇‍♂️

(2)y=-x3+6x²-12x+1 黄チャート → 数学Ⅱ 基本例題 180 y=-x+6x12x+1 y'=-3x²+12x-12 y'=-3(x²-4x+4) y'=-3 (x-2)² 2 -12+24-12 極値12(x=2)

1番の問題で 解説にある常に減少とはどうやって見分けたのですか？

407 (1) f'(x)=-3x²+12x-12=-3(x-2)² f'(x) = 0 とすると x=2 f(x) の増減表は次のようになる。 x f'(x) f(x) 2 - 0 - -7 よって, 関数 f(x) は常に減少し, 極値をもたな い。

なぜマイナスをつけていないのでしょうか？教えてください。−（xの２乗＋2x−a＋2）＝0の判別式DについてD>0にしてやってはいけない理由を教えてください。お願いします。

基本 例題 95 関数が極値をもつための条件 0000 a 2 は定数とする。 関数f(x)= x+1 x2+2x+a について,次の条件を満たすαの値ま たは範囲をそれぞれ求めよ。 (1) f(x) がx=1で極値をとる。 (2) f(x) 極値をもつ。 /p.162 基本事項 2 基本 94 重要 96 指針 f(x) は微分可能であるから f(x) が極値をもつ⇔ [[1] f (x)=0となる実数αが存在する。 [[2] x=αの前後でf'(x) の符号が変わる。 まず必要条件 [1] を求め, それが十分条 件 [2] も満たす) かどうかを調べる。 f'(x) f'(x)=0 0=(2 f'(x) f'(x)\ 極 f'(x) <0 <0 >0 小 f'(x) = 0 (1) f(1) = 0 を満たすαの値 (必要条件) を求めてf(x)に代入し, x=1の前後で f(x) の符号が変わる (十分条件) ことを調べる。き TRAHD (2) f'(x)=0が実数解をもつためのαの条件(必要条件) を求め、その条件のもとで, f'(x) の符号が変わる (十分条件)ことを調べる。 なお,極値をとるxの値が分母を0としないことを確認すること。 4 章 1 内 AR 90 f'(x)= 定義域は,x2+2x+α≠0 を満たすxの値である。f(x)の分母)≠0 1(x2+2x+a)(x+1)(2x+2) 2+2x-a+2 u'v-uv (x2+2x+α)2 x2+2x+α) 2 v2 (1) f(x) は x=1で微分可能であり、 x=1で極値をとる とき f'(1) = 0 第1 必要条件。 (分子)=1+2-a+2=0, (分母)=(1+2+α)20( よって α=5 このときf'(x)=(x+3)(x-1) <a=5は の解。 (x2+2x+5)2 ゆえに、f'(x) の符号はx=1の前後で正から負に変わ十分条件であることを示 り, f(x) は極大値 f(1) をとる。 したがってd=5 0x (2)f(x)が極値をもつとき, f'(x)=0となるxの値が(この確認を忘れずに!) あり, x=cの前後でf (x) の符号が変わる。(x) よって, 2次方程式x2+2x-a+2=0の判別式Dにつ て D0 すなわち 12-1 (-α+2)>0 これを解いて a>1 このとき,f'(x)の分母について {(x+1)'+α-1}^≠0 であり、f'(x)の符号はx=cの前後で変わるからf(x) は極値をもつ。 したがって a>1 x=c(C1とC2の2つ)の前 後でf'(x) の符号が変わる。 =x+2x-a+2 x + + C1 C2 x

四角で囲った部分がわからないです（Xの解） 特に二枚目の丸で囲んだ部分はどうしてこういうふうに言えるのかわからないです

354 基本 例題 223 係数に文字を含む3次関数 [類 立命館大] la を正の定数とする。 3 次関数 f(x)=x-2ax2+αxの0≦x≦1 における最大 値M (α) を求めよ。 基本 219 重要 224 指針 文字係数の関数の最大値であるが, p.350 基本例題 219 と同じ要領で,極値と区間の 端での関数の値を比べて最大値を決定する。 f(x) の値の変化を調べると,y=f(x) のグラフは右図のよう になる(原点を通る)。ここで, x=/1/3以外にf(x)=f(1/2)を 満たすx (これをαとする) があることに注意が必要。 a よって、1/3,α (/1/<α) が区間0≦x≦1に含まれるかどうか 3' a 3 <a a で場合分けを行う。 y4 f() O a a f'(x)=3x²-4ax+α²=(3x-a)(x-a) 解答 f(x) = 0 とすると x=147, a a 3' a>0であるから,f(x)の増減表は次のようになる。 以上から (x)はx=3 M(a)-( <a<1 すなわ <a< 2 のとき, f(x)はx=1で最大と M(a)=f(1) 0<a M Åsas 3 まずは、f'(x)=0を満た すxの値を調べ, 増減表 をかく。 <a>0から a ・<a ... ゆえに X- a x=/1/3であるから x x f'(x) + a 3 0 f(x) 大 a 0 + 極小 ここで,f(x)=x(x2-2ax+α²)=x(x-a)2から (+)-(-a), F(a)=0 3 27 -α 大 = 12/17 を満たすxの値を求めると, =1/1/3以外にf(x) 4 f(x)=から 4 x³-2ax² + a³x-17 a²=0 x3-2ax2+αx- α=0 (x-3) ( x − 4 27 (*) a)=0 0= CLAQ (*) 曲線 y=f(x) と直線 =は、x=号の y= 点において接するから、 f(x)-27 a³ 13(x- 3次関数の対称性の利目 樹 344 の参考事項で紹 の値を調べることもで 2つの極値をとる点 座標は 信 X=- 83 23 なお、p.344 で紹介 で割り切れる。このこと を利用して因数分解する とよい。 よって 3 -2a a² 0-27 a 5 Q2 3 9 x=- a 5 4 1 a a² 0 よって,f(x)の0≦x≦1における最大値 M (α) は,次のよ うになる。 3 9 13 としておきたい。 a 4 3 9 [1] 1< // すなわち α>3のとき 4 1 a -= M(a)=f(1) f(x)はx=1で最大となり 1 a²-2a+1 O 1 ・最大 大人の方針。 [1]は区間に極値をとる xの値を含まず、区間の 右端で最大となる場合 指針」 a a x 3 222は正の