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重要 例題 21 ベクトルの大きさと絶対不等式
|a|=1,|6|=2, 2 とするとき, |ka +t6|>1 がすべての実数tに対
して成り立つような実数kの値の範囲を求めよ。
SOLUTION
CHART
は
として扱う
..…① と同値である。①を計算して整理する
\ka+tb>1 l \ka+tb³²>1²
と, (tについての2次式)>0 の形になる。
この式に対し, 数学Ⅰで学習した次のことを利用し,kの値の範囲を求める。
の2次不等式 at'+bt+c>0 がすべての実数tについて成り立つ
⇒ a>0 かつ b²-4ac < 0
KANS
◆A> 0, B>0 のとき
ka+t6|≧0であるから, ka+t6|>1 は
A>BA²> B²
① と同値である。
ka+to²>1
|ka+tb|²=k²|a|²+2ktā·6+t²|6|²
36.8300-8 #A
ここで
||=1, ||=2, 1.8=√2 であるから
|ka+top=k2+2√2 kt+4t2
080021-800-
よって, ① から
k2+2√2 kt+4t²>1
すなわち 4f2+2√2kt+k²-1>0
・②/10 200 d問題の不等式の条件は
② がすべての実数tに
② がすべての実数tに対して成り立つための条件は,t の2次
方程式 4f2+2√2kt+k2-1=0 の判別式をDとするとの
係数は正であるから
対して成り立つこと。
D<O
²5+5D<Oが条件。
ここで
D=(√2k)²-4×(k²-1)=-2k²+4
4
よって
-2k²+4<0 ゆえに k²-2>0 78+0 (k+√2)(k-√2)>0
したがって k<-√2, √2<k3550S CLL
INFORMATION
上の CHART & SOLUTION で扱った絶対不等式は,関数
y=ate+bt+c のグラフが常に「t軸より上側」にある, と
して考えるとわかりやすい。
YA
C
y=af+bt+c
0
PRACTICE... 21
[a>0かつb4ac<0]
lal=2, 161-1, la-l
n
