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355
64
基本 例題 223 係数に文字を含む3次関数の最大・最小
00000
すなわち
[2] YA
[2]
[2] は区間に極大値をと
a³
α を正の定数とする。 3次関数f(x)=x-2ax2+αx0≦x≦1 における最大
立命館大 ]
基本 219 重要 224
4
るxの値を含み, 極大値
が最大値となる場合。
で最大となり
0
a
1 a
3
値 M (α) を求めよ。
指針 文字係数の関数の最大値であるが, p.350 基本例題 219 と同じ要領で, 極値と区間の
端での関数の値を比べて最大値を決定する。
f(x) の値の変化を調べると, y=f(x) のグラフは右図のよう
ya
になる (原点を通る)。 ここで,x=
=/1/3以外にf(x)=f(10/28)
(
0
よって、1/3 α (1/3<α) が区間 0≦x≦1に含まれるかどうか
a a
3
で場合分けを行う。
満たすx (これをαとする) があることに注意が必要。
<a
a
f(x)はx=/10/
M(a)(0)
4
[3] 0< <1/3a<1 すなわち
0<a<212 のとき,
f(x)はx=1で最大となり
M(a)=f(1)
以上から
f'(x)=3x²-4ax+α2=(3x-a)(x-a)
解答 f'(x)=0とすると x=
a
3. a
まずは、f'(x)=0を満た
すxの値を調べ, 増減表
をかく。
a>0であるから, f(x) の増減表は次のようになる。
<a>0 から
a
x
a
...
3
0<<a
f'(x) + 0
0 +1
(0)\-(E)\
0<a<12/13<a のとき
[3]
最大!
a2-2a+1
a
jal
[3] は区間に極大値をと
るxの値を含むが、 区間
この右端の方が極大値より
も大きな値をとり, 区間
の右端で最大となる場合。
10 a
a 4
3
M(α)=f(1)=α-2a+1
24≦3のとき M(a)=
このとき
大阪
<f(1)=13-2a・12+α2.1
=a²-2a+1
f(x) 極大 (0)
ここで,f(x)=x(x2-2ax+α²)=x(x-α)からもう (*) 曲線y=f(x) と直線
x=
(3)=(-a)=7a³
4
a³, f(a)=0
OL-13+TS
=1/3以外にf(x) = 27 を満たすxの値を求めると,
3次関数の対称性の利用
目
4
検討 p.344 の参考事項で紹介した性質, 3 を用いて,f(x)=2742 を満たすx= 1/3以外のx
の値を調べることもできる。
2つの極値をとる点を結ぶ線分の中点(つまり,変曲点) の y=f(x)
x 座標は x=-
-2a 2
3.1 3
点において接するから,
f(x)/(x)
4
f(x)=
=270から
(1
x³-2ax²+a²x-7a³=0
4
で割り切れる。このこと
を利用して因数分解する
とよい。
S
ゆえに (x-1)(x-1/4)-10-19
1102a a
a 15
3
x=
であるから
X=
15
4
1
0
よって, f(x) 0≦x≦1における最大値 M (α) は,次のよ
うになる。
01
9
a
4
3
4
a
[1] 1<1/3 すなわち 4>3のとき
1
0
3
f(x) はx=1で最大となり
M(a)=f(1)
<指針_
a2-2a+1
-最大
★ の方針。
[1] は区間に極値をとる
xの値を含まず 区間の
右端で最大となる場合。
0
a
a
x
3
a
3
2
で, a+
から、
3
11/24)となる。
なお, p.344 で紹介した性質を用いる方法は,検算で使う程度
としておきたい。
で
0.0
6章
6 最大値・最小値、方程式・不等式
ことしないよ
練習
x3
0223
は正の定数とする。 関数f(x)=-
x²+ 3 ax²-
ピー2ax+αの区間 0≦x≦2におけ
3
p.368 EX142
る最小値 m (a) を求めよ。
