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Mathematics Senior High

解答の表と矢印の意味が分かりません!解説お願いします!

[9]]] 導き、 x= 1, 5 4次式x 有理 基礎問 を実数とする. 3つの2次方程式 「間」とは、入試に できない)問題を言い ではこの x²-2ax+1=0 .......① 2-2ax+2a=0 ....... ② CONN 効率よくまとめてあり 4.エー8ax+8a-30 ...... ③ ■入試に出題される 方程式 範囲を 取り上げ、教科書 行います。 特に、 実にクリアできる なαの値の範囲を求めよ. 岸をもつ 2次方 ■「基礎間」→「 また、 で1つのテー と係 精 ■1つのテーマは 2 2 4 Dz. 2=a²-2a=a(a-2) 4 ことになります。しかも, その値は正, 0, あるので、道立不等式をそのまま解くとするとかなりメンドウです。ご なときには表を使うとわかりやすくなります。 解答 ① ② ③の判別式をそれぞれ Di, D2, D3 とすると |D=α-1=(a+1)(a-1) 2次方程式の解が実数が数かを判別するとこには判別式を すが、この間のように方程式がぼつあると不等式を3つ 負の3種類の可能 L=4(4α²-8a+3)=4(2a-3)(2a-1) D=0 a=±1 D2=0a=0, 2 3 1 D3=0a= 2'2 よって, Di, Dz, D3の符号は下表のようになる. 1 a -1 ... 0 1 .... 2 + + 0 + D₁ D2 + D3 + 20 + + + + 0 - + + 0 - - 1 32 + + 0 2 2 + + + 0 + - + + + ここで、題意をみたすためには, Di, D, Ds のうち、 1つが負で、残り2つが止または0であればよいので -1<a ≤0, Sa<2 参考 注 この表のかき方は微分法で増減表をかくときと似ています。 「実数解をもつ」という表現には気をつけなければなりません。 「異なる2つの実数解」ならば,D>0ですが、この場合は重解も含ん でいることになるので, D≧0 でなければなりません。 (D120 問題文の意味を忠実に再現すれば次のようになります。 D₁≥0 (D₁<0 D220 または D<0 D<0 または D20 D220 D20 第2章 このように,「かつ」 と 「または」 が混在すると,まちがう可能性が かなり高くなります。 表にまとめるという解答の手段は非常に有効といえます。 ぜひ、使 えるようになってください。 ポイント 演習問題 18 「かつ」 と 「または」 が混在している連立不等式を数直 線を利用して解くと繁雑になるので, 表を利用した方 がわかりやすい αを実数とする. 3つの2次方程式 解をも tc x2-2ax+1=0 2-4x+α²=0 ....... ① ......② 2-(a+1)x+α²=0 ...... ③ のうち、1つだけが実数解をもち、他の2つは虚数解をもつような

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Mathematics Senior High

検討のところがよく分からないです

√2+40 が自然数となるような自然数n をすべて求めよ。 (1) |指針 √m²+40=m(mは自然数) とおき, 両辺を平方して整理すると よって (m+n)(m-n)=40 ① ←() () () m²-n2=40 ここで, A, B, Cが整数のとき, ABC ならば A, B は C の約数 (*) を利用して、 ① を満たす整数m+n, m-nの組を考える。 CHART 整数の問題 このとき, m>0,n>0よりm+n>0であるから, ① が満たされるとき m-n>0 更に,m+n>m-nであることを利用して, 組の絞り込みを効率化するとよい。 ( )( )=(整数) の形を導き出す √n2+40=m(mは自然数) とおくとn<m 解答 平方してn2+40=m² ゆえにいで(m+n)(m-n)=40 ...... ① An=√n² <√n²+40=m 2m²-n²=40 mnは自然数であるから, m+n, m-nも自然数であり, 40の約数である。という また, m+n>m-n≧1であるから, ① より m+n=8 m-n=1'|m-n=2' m-n=4lm-n=5 TRAN <n>0から m+n>m-n (m+n=a,m-n=6と すると At AS a+b m= n= 2 a-b 2 m+n=40 m+n=20 { m + n=10 解は順に 「進め (m, n)=(1, 39), (11, 9), (7, 3), (1, 13 3 2 したがって、求めるnの値は n=9,3 なる実数とすると、2.923 mn が分数の組は不適。 加 積がある整数になる2整数の組の求め方 上の解答の①のように, ()=(整数) の形を導くことは,整数の問題における有効 検討 な方法の1つである。()()=(整数) の形ができれば,指針の(*) を利用することで, 値の候補を絞り込み, 答えにたどりつくことができる。 また,上の解答では,積が40 となるような 2つの自然数の組を調べる必要があるが, その ような組は, 右ので示された, 2数を選 ぶと決まる。 例えば, 1と40に対して(1,40) と (40, 1) の2組が決まるから, 条件を満たす 組は全部で4×2=8 (組) ある。 を利用することで, (m+n, m-n) の組を4つに絞る工夫をしている。 40の正の約数 p>C 40=235 から (3+1)(1+1)=8(個) ↓ 7 1,2,4,5,8, 10, 20, 40 しかし,上の解答では, なお、整数a,bに対し, (a+b)-(α-b)=26(偶数) であるから, α+ b と a b の偶奇 は一致する。このことを利用すると,上の解答の の組は省くことができて, 2組に絞 られるから,更に効率よく進められる。 (1) arr

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