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不定方程式 ax + by = cの整数解をすべて求めてみよう。
不定方程式の整数解 [1]
例題
6
次の不定方程式の整数解をすべて求めよ。
5x-9y=2
考え方
まず, 5x-9y=2の整数解を1つ求める。
解
不定方程式 5x-9y=2の整数解を1つ求めると
5x = 9y+2の右辺 9y+2が
x = 4, y = 2
5の倍数となるようなyを求める
これを①の左辺に代入すると
5×4-9×2= 2
......②
10
5xx -9xy
=2
① ② より
-)5x4-9x2
=2
5(x-4)-9(y-2)=0
5(x-4)-9(y-2)=0
すなわち
5(x-4)=9(y-2) ......③
5と9は互いに素であるから, x-4は9の倍数であり,
整数を用いてx-49k と表される。
15
ここで,x-4=9k を③に代入すると
5×9k=9(y-2) より y=5k+25k=y-2
よって、 ①のすべての整数解は
x=9k+4,y=5k+2 (kは整数)
注意 例題6において,5×(-5)-9×(-3) = 2 であるから, x=-5,y= -3
も①の整数解の1つである。 このとき, 例題6と同様にして, ① のすべての整数
解を求めると x=9k-5,y=5k-3 (kは整数)
この式のkk+1に置きかえると, 例題6の結果の整数解と一致する。
練習
次の不定方程式の整数解をすべて求めよ。
24
(1) 9x-4y=1
(2)5x+3y=1
(3) 17x-9y=4
(4)5x + 14y = 3
2
