思考プロセス
例題 284 一般項に (-1)” を含む数列の和
Sn = 12-2°+32-4°+5°-6°+・・・+(-1)*+1n2 を求めよ。
式を分ける
符号が交互に変わることから, 2項ずつ組にして考える。
★★★☆
Sn = (12−22) + (3-4) + (562) +.････
最後も組 (1)
場合に分ける
(1−22) + (3-4) + … + (
2)+ローロ) (
(nが偶数のとき
(1−22) + (32-4) + … +
])+[
( nが奇数のとき)
最後余る
2
Action» 一般項に (-1)” を含む数列は,nの偶奇で場合に分けよ
解 (ア) nが偶数のとき, n=2m (m=1,2,3,‥･･) とおくと
Sn=Szm
=(12-22) + (32-42) + (52−62)
m
+..+{(2m-1)-(2m)}
m
st={(2k-1)² - (2k)²) = (-4k+1)
k=1
k=1
=-4. 1/21m(m+1)+m=-m(2m+1)(+
1
n=2mより,m=
-n であるから
2
Sn=
==
anoino
-n(n+1)
(イ)が奇数のとき,
n=2m-1 (m = 1, 2, 3, ...) とおくと
Sn=S2m-1=S2m+ (2m)
=-m(2m+1) + 4m²
=m(2m-1)
1
n=2m-1より,m=
1212 (n+1) であるから
の式で表す。
nを3以上の奇数として,
S2m+1=S2m+ (2m+1)
と考えてもよい。
(ア) の式を利用する。
S2m
=
(mm
S2m-1-(2m)²
m(2m+1)+4m²
=m{-(2m+1)+4m}
(1=m(2m-1)
Sn
S=1/12 (2
(n+1){(n+1)-1}=1/12m(n+1)
(ア)(イ)より
Sn=
すなわち
J-12m(n+1)(nは偶数)
n(n+1) (nは奇数)
1
Sn=(-1)"+1.11n(n+1)
2
(+税)
このまま答えとしてもよ
[い。
(-1)*+1
-1 (nが偶数 )
(nが奇数)
