補 2つの等差数列の共通項
応用 問題
例題2a=3n-2, 6m=4n+1 (n=1, 2, 3,....) で表される2つの等差数列{an},{bn} に共通
に含まれる項を順に並べてできる数列を {cm} とする。 数列 {c. の一般項を求めよ。
解答 数列{an}, {bn} の項を書き出すと
{an}:1, 4,7,10, 13, 16, 19, 22, 25,28, 31,34,37,
{bn}:5,9,13,17, 21, 25, 29,33,37,
数列{an}, {bm} に共通に含まれる項を書き出すと {C}:13,25,37,
よって, 数列{cm}の初項は 13
また,{an}は公差3の等差数列{bn} は公差4の等差数列であるから, {cm} は公差12の
等差数列である。
したがって,数列{ Ch}の一般項は
cn=13+(n-1)・12=12n+1
[別解 数列{an}の第1項と,数列{bn}の第m項が等しいとすると 31-2=4m+1
3(1-1)=4m
PER
よって
3と4は1以外に正の公約数をもたないから, I-1は4の倍数である。
よって, 1-1=4k (k=1,2,3,......) とおける。すなわち l=4k+1
したがって,数列{an} と数列{b.} に共通に含まれる項は,数列{an} の第 (4k+1) 項
(k=1, 2, 3, ......) T Ck=a4k+1=3(4k+1)-2=12k+1
よって,数列{cm}の一般項は Cn=12n+1
1140 MANetw
13
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