重要 例題 57
関数の作成
F
000
図のような1辺の長さが2の正三角形ABC がある。点P
が頂点Aを出発し, 毎秒1の速さで左回りに辺上を1周す
るとき, 線分APを1辺とする正方形の面積」を, 出発後
の時間x(秒) の関数として表し, そのグラフをかけ。
ただし, 点Pが点Aにあるときは y=0 とする。
[c
(1
B
(2
CHART & SOLUTION
C
変域によって式が異なる関数の作成
場合分けの境目の値を見極める
(1) xの変域はどうなるか→ 0≦x≦6
② 面積の表し方が変わるときのxの値は何か→ x=2, 4
点Pが辺BC上にあるときの AP2 の値は, 三平方の定理から求める。
解答
y=AP2 であり,条件から,xの変域は
0≤x≤6
[1] x=0, x=6 のとき 点Pが点Aにあるから
y=0
[2] 0<x≦2 のとき 点Pは辺 AB上にあって
よって y=x2
AP=x
角
P
P
[3] 2<x≦4 のとき 点Pは辺BC上にある。
辺BCの中点をMとすると, BC⊥AM であり BM=1
よって, 2<x≦3 のとき
3<x≦4 のとき
ここで AM=√3
PM=1-(x-2)=3-x
PM=(x-2)-1=x-3
ゆえに,AP2=PM2+AM2 から y=(x-3)2+3
BPM
x-2
結局 2<x≦4 のとき
PM=|x-3|
頂点 (3,3),軸 x=1
の放物線
AP2=(AC-PC)2 から
y=(x-6)2
[4] 4 <x<6 のとき 点Pは辺CA上にあり, PC=x-4,
yA
1
I
[1]~[4] から
4F
3
0≦x≦2 のとき y=x2
2<x≦4 のとき
y=(x-3)2+3
4<x≦6 のとき y=(x-6) 2
O
234
6
x
グラフは右の図の実線部分である。
(d
←{2-(x-4)}=(6-x)
=(x-6)
頂点 (6,0), 軸x=6
の放物線。
x=0, y = 0 は y=x2
x=6,y=0 は y=(x-6
に含まれる。
