5(空間図形一三角錐)
(問1)<角度>右図で、 AP=PD のとき, PD=
)AD=×8=4だから。
BD=CD=PD となる。また,ZADB= ZADC= ZBDC=90° だから,
APDB, APDC, ABDC は合同な直角二等辺三角形になる。したがって,
PB=PC=BC だから,APBC は正三角形となり,ZBPC=60° である。
(問2]<体積一三平方の定理, 相似>右図において,BD=CD で,点Mが
辺 BC の中点だから,DMLBC である。また,△ABD=△ACD より,
AB=AC だから,同様にして,AMIBC である。これより,
BCI(面 AMD]となるので,面 ABC と面 AMD は垂直である。よって、
PQLAM より,PQI[面 ABC)となるから,立体P-QBC の体積は,
8cm
P
B
M
D
1
×AQBC×PQ で求められる。△BDC は直角二等辺三角形だから,
4cm
3
ADMB とADMCは合同な直角二等辺三角形であり,
BC=V2BD=V2×4=4/2, MD= MB=
BC=;×4/2=22である。また。
ZADB= ZADC=90° より, ADI(面 BDC]だから,ZADM= 90° となり、△ADM で三平方の定
理より,AM=VAD* + DM"=V8+ (2/2)° = V72 =6V2 である。ZADM= ZAQP(= 90),
ZDAM= ZQAP(共通)より, △ADMの△AQP だから,AD:AQ= AM:AP が成り立ち、
8:AQ=6/2:6, AQ×6/2 =8×6, AQ=4/2 となり, QM=AM-AQ=6V2 -4/2 =D 2/2であ
る。これより,AQBC=;× BC×QM= ×4/2 ×2/2 =8となる。さらに、
2
AM:AP=MD:PQとなるので,6/2:6=2/2: PQ. 6/2×PQ=6×2v2, QP=2である。した
16
がって,立体P-QBC の体積は, ×8×2=
-(cm*)である。
3
