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EXERCISES 290ngina2 To 21b9[d pnibiae A Fill in the blanks to complete the sentences. (1) 増水時にこの川で泳ぐのは危険だ. be able to access thndant It is dangerous ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) this river when it has risen. (2) 君が彼の忠告を無視したのは愚かだった。 201 SW6SAN5)ni )( ) to ignore his advice. tadiu on fme me uo bni 31 It was( (3) ドアを閉めてもよろしいですか.mber Would you mind( ) the door? (4)彼は遅くなりすぎて最終電車に間に合わなかった。 moge/ It was too late( bremmLawS veR aldshglg 6ap1. ) the last train. B Complete the sentences with the words in brackets. (1)( language / foreign / requires / a / mastering ) a lot of time and energy. (2)(to / expect / little sons / my / I ) be considerate in the future. 9(3) The students( being / of / exams / my / complained ) too difficult. (4)(hard / it / Lucy / was / to / for ) make sense of his story. onids月 He wants to make( cookware / to / children / use / for ) easily. he aw C Express the following in English and complete the sentences. (1)このマニュアルは娘が読むのに十分簡単だ. This manual is simple enough 2A ctabl 190 mlasD wens Sn91ai T (2) その計画を今あきらめることは大きな間違いだ。 would be a big mistake. エキは母親が彼女の服装についてとやかく言うのが好きではない。TM T30AAT 9go Yuki does not olrla things about her clothes. (4)定期的に運動することが健康を維持する有効な方法だ。 to maintain your health. なる xliess D Express the following in English. 地球環境が危機にさらされているのは明白な事実だ.(global environment) alll.e (2)野鳥の写真を撮ることが私の趣味の1つだ。 (3) 彼にさよならを言わないなんてあなたは失礼だった.[rude] (4) 1日でその都市の名所をすべて見て回ることは不可能だ. [the sights) abnimon aidT .A d aA

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Mathematics Undergraduate

数列 {a[n]} は任意の番号 i, j に対して | a[i+j] - a[i] - a[j] | < 1/(i+j) が成り立つものとする {a[n]} は等差数列であることを示せ この問題をご教授頂けると幸いです。すみませんが。 この問題の解説の 2... Read More

問題 数列 (an)は任意の番号,jに対して la(i+j)-a(i)-a(i)|< 1/(i+j) が成り立つものとする。 (an) は等 差数列であることを示せ。 1.先ず初めに (an) が等差数列とすると、ある実数 a,bが存在し a(n) = an + bと書けるが、 この時 |a(i+j) -a(i) - a(i)|= |b| である。従って6チ0ならば、(Archimedes の原理により) N> 1/b|となる自然数Nを取れば、 0<1/N < |bとなる。 この時、la(N+1)-a(N) - a(1)| < 1/(N+1) とならなければいけないが、一方でla(N+1) - a(N) - a(1)| = || > 1/N > 1/(N+1) となり矛盾 である。従ってb=0でないといけない。 この時 a(1) = aである。従って a(n) =D n.a(1)でなければ ならない。 解答 2. そこで、a(n) =n.a(1) であることを示す。今ある自然数 m(> 2) が、a(m) + m.a(1) となると仮定 して、矛盾を示す。a(m) - m.a(1) = dとおく。dチ0である。 (Archimedes の原理により) M> 2m/|d となる自然数 M が取れる。 0<1/M <\d/2m となる。 こ の時、 m |m-a(1) + a(M)- a(M +m)|= {a(1) + a(M +k-1)-a(M+k)} 1k=1 m k=1 m Tm <と1(M + k)<2VM = m/M < \d/2 k=1 k=1 が成り立つ。又、 も成り立つ。従って m-a(1) - a(m)| =|{m.a(1) + a(M)- a(m+ M)}-{a(m) +a(M) - a(M +m)}| <d/2+ Id/2 = |d であるが、一方 |m. a(1) - a(m)| = \d であったから、矛盾である。 ロ

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