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票がともに整数で
=x²
xa
基本 16
ey
が並ぶから,
になる。
いた
(1) 領域は,
よび内部である。
直線y=k(n-1,
(2m-2k+1) 個の格子点が並ぶ。
よって, 格子点の総数は
右の図の赤く塗った三角形の周
2-0
(2n-2k+1)=(2n-2-0+1)
.....,.0) 上には、
ゆえに,
k=1
=n²+2n+1=(n+1)² (13)
ya
線分x+2y=2n (0≦y≦n)
+ 2(−2k+2n+1)
= 2n+1-2·½n(n+1)+(2n+1)n
ya
n
-1
0
k
k=1
1
-x+2y=2n
O
上の格子点(0, n), (2,n-1),
(2n, 0)の個数はn+1
4 (0, 0), (2n, 0), (2n, n),
よび内部にある格子点の個数は (2n+1)(n+1)
0, n) を頂点とする長方形の周お
求める格子点の個数をNとすると
2N-(n+1)=(2n+1)(n+1) - (*)
よってN=1/12 (2n+1)(n+1)+(n+1)=1/2(n+1)(2+2)=(n+1)
US (n+1)個
2n
12
(2) 領域は,右の図の赤く塗った部分の周および内部であ
る。直線x=k(k=0,1,2,
(n²-k²+1) 個の格子点が並ぶ。
よって, 格子点の総数は
......, n-1, n) 上には
x
£(n²−k² + 1) =(n²−0²+1)+ Σ(n²+1−k²) ___ \7 +3
k=0 までの和を求めよ
=(n²+1)+(n²+1)Σ¹–Ë k²
k=1
= (n²+1)+(n²+1)n- n(n+1)(2n+1)
2=(n+1)(n²+1)-1/12 n(n+1)(2n+1)
とする=1/(n+16(n²+1)-z(2n+1)}
400*NZJJR$ 1+2+01+01+
=(n+1)(4n³²_n+6) (15)
12m-21 2m
2月2k 2m-1
k=0 の値を別扱いした
が、
-2 Ek+(2n+1) 1
= -2- -— n(n+1)
( 求める格子点の数)×2
√743' k21
でもよい。
(*) 長方形は,対角線で
2つの合同な三角形に分け
られる。 よって
n²-1
(対角線上の格子点の数)
=(長方形の周および内
部にある格子点の数)
²-2
+(2n+1)(n+1)
391
1
y=x²
1章
(A) OTS
3
1 k n
800
別解 長方形の周および内
部にある格子点の個数
(²+1)(n+1) から 領域
(2) 0≤x≤n, y≥x², y≤2x²
種々の数列
外の個数を引く。
k=1
x
PRACTICE 280
次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点の個数を求めよ。ただし,nは自然数と
-Tore : S
する。
(1) x≧0 y≧0,x+3y≦3n
