CHART 互いに素であることの証明
a+bと ab が互いに素でない,すなわちa+bと abはある素
自然数 a, bに対して、 a とbが互いに素ならば, a+bと abは互いに素であるこ
そこで,背理法 (間接証明法)を利用する。 →atbと abが互いに素でない, すなわち
基本 例題I13 互いに素に関する証明問題(2)
481
とを証明せよ。
p.476 基本事項 2]
とab の最大公約数が1となることを直接示すのは糸口を見つけにくい。
重要114
4
11
が素数pの倍数であるとき, mまたは n はpの倍数である。
1 最大公約数が1を導く
2 背理理法 (間接証明法)の利用
いはaの様
解答
数りを公約数にもつと仮定すると
atb=pk …
と表される。
のから, aまたはbはかの倍数である。 合
がわの倍数であるとき, a=pm となる自然数 mがある。
このとき,①からb=pk-a=pk- pm=p(k-m) となり、
nとnが互いに素でない
0, ab=pl …
2(k,1は自然数)
→mとnが素数を公約
数にもつ
R-m は整数。
bもかの倍数である。
nこれはaとbが互いに素であることに矛盾している。
1は30倍
北がって、
Aa= pk-b
=が(R-m')
そ 自の(m'は整数)
bがかの倍数であるときも,同様にしてaはかの倍数であり,
表きれるから aともが互いに素であることに矛盾する。
リ=2m
したがって, a+bと abは互いに素である。
mt1は互い
す
の時数であ
