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基本 例題 25
垂心の位置ベクトル
平面上に△OAB があり、OA=5,OB=6, AB=7 とする。 また, △OABの垂
00000
心をHとする。
(1) COS ∠AOB を求めよ。
(2) OA= a, OB = とするとき, OH を a, 1 を用いて表せ。
指針 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点であり,
解答
△OABの垂心Hに対して, OA⊥BH, OBIAH, ABIOH
が成り立つ。
そこで, OA⊥BH といった図形の条件をベクトルの条件に
直して解く。 (2) では OH = sa+t とし, OA・BH=0,
OB･AH=0 の2つの条件から,s,tの値を求める。
(1) 余弦定理から
EDU
COS ∠AOB=
OA⊥BH より OA･BH=0 である
から
よって
ゆえに 25s+6(t-1)=0
すなわち 25s+6t=6
①
また, OB ⊥AHよりOB･AH = 0 であるから
{(s-1)a+t}=0
(s-1)ã·6+t|b²=0
したがって
(2) (1) 5 à·b=|ā||5|cos <AOB=5.6.-=
-=6
△OAB は直角三角形でないから,垂心Hは2点A,Bと
一致することはない。
F
21-9
Hは垂心であるから
OA⊥BH, OB⊥AH
OH = sa + to (s,t は実数)とする。 A+8A
CHORUSS
0
52 +62-72
2･5･6
S=
a•{sa+(t-1)}=0 tsasaH
slal²+(t-1)ã·b=0C=100
よって
ゆえに 6(s-1)+36t=0 すなわち s+6t=1
19
① ② から
1)-(2*4
144
5
24'
OH=
12 1
60 5
t=
A
5
→
2ä+ 196
a+
24
144
=
p.400 基本事項 ⑤
631
B
------
A
stronas
重要 28
[参考] AB=18-
=161²-26-a+la1²
H
|AB|=7, |a|=5, ||=6で
あるから 72=62-2 ・a +5²
よって
1=6
18-TA
①垂直→ (内積) = 0
BH = OH-OB
O
|a| =5, a-6=6
①垂直→ (内積) = 0
■AH=OH-OA A
HA①-②から
24s=5
HA&
2a-6-6, 161=63
3x+u+=
B
421
4 位置ベクトル、ベクトルと図形
X
