こういう問題の時は正十角形などの図を書かないと求められないですか？

296 基本 例題 24 三角形の個数と組合せ 本 正十角形について,次の数を求めよ。 (1) 対角線の本数 (2)正十角形の頂点のうちの3個を頂点とする三角形の個数 00000 (3)(2)の三角形のうち, 正十角形と1辺だけを共有する三角形の個数 CHART & SOLUTION 三角形の個数と組合せ 図形の個数の問題では、図形の決まり方に注目 三角形は1つの直線上にない3点を結んでできる。 (2)正十角形の 10 個の頂点は,どの3点を選んでも1つの直線上にない。 (3) 共有する1辺に対して,三角形の第3の頂点の選び方を考える。 解答 (1)異なる 10 個の頂点から2個の頂点を選ぶ方法は 10C2通り p.293 基本事項 1 辺または対角線は2 の頂点を結んでできる。 この中には正十角形の10本の辺が含まれている。中のさ ( よって 10C2-10= 10.9 2.1 -10=35 (本) (2)3個の頂点で三角形が1個できるから, 求める個数は3個の頂点の選び方が 10.9.8 10C3= =120 (個) 3.2.1 なれば,三角形も異なる (3) 正十角形の10個の頂点を図のよ A inf. 正十角形と2辺を うに定める。このとき,辺AB だけ を共有する三角形の第3の頂点の選 C び方は, A, B とその両隣の2点C J を除く, D, E, F,G,H,Iの6通り。 他の辺を共有する場合も同様である から,求める個数は 6×10=60 (個) B J 有する三角形は左の図の △ABCのように、隣接す I 2辺を共有する。よって、 D H この場合は頂点の数だける り, 10 個となる。 E G FE

(3)なのですが、範囲を定める理由はあるのでしょうか。

基本 例題 43 関数の連続 不連続 • 00000 次の関数f(x)が, x=0で連続であるか不連続であるかを調べよ。 ただし, [x] (ガウス記号) は実数xを超えない最大の整数を表す。 (1) f(x)=x3 (3) f(x)=[cosx] CHART & SOLUTION (2) f(x)=x2 (x=0), f(0)=1 p.70 基本事項 6 f(x) がx=αで連続 ⇒ limf(x)=f(a) x-a f(x)がx=αで不連続⇔xaのときのf(x)の極限値がない または lim f (x)=f(a) x1a limf(x), f(a) を別々に計算して一致するかどうかをみる。 x-a 解答 (1) limf(x)=0,f(0) = 0 から limf(x)=f(0) x0 よって、 関数 f(x) は x=0で連続である。 (2) limf(x)=0, f(0) =1 から f(x)4 x→0 limf(x)=f(0) 01x よって、 関数 f(x)はx=0 で 不連続である。 1 V範囲を定めるのはガウスの値を1つに定めるため? (3)xx0 とすると 0≦cosx<1 よって [cosx]=0 ゆえに lim[cosx]=0 また よって x→0 f(0)=[1]=1 limf(x)=f(0) x→0 したがって, 関数 f(x) は x=0 で不連続である。 になる。 -1.0 で (1) f(x)A 1 -1 01 x -1 x グラフでは, x=0でつ ながっているかどうか をみる。 (3) f(x) J 72 0 X 2章 5

英作文についての質問です！漠然と〜と思える状況にあったの部分についてなのですが、a vague ideaでは間違いですか？

とが多い。 解説 4 「若者は漠然と~と思えるような状況があった」 1 SV, and [so] young people vaguely thought [imagined] that S V ② SV,and [sol young people (vaguely) assumed that SV ③ It was a time [an age] when young people had the vague idea that SV ④ It was a situation in which young people had the vague idea that SV ⑤ This gave them the vague idea that SV 「~と思える」と書かれているが could を入れなくてもよい。 「･･･ような状況があった」 は、 特に訳出する必要はないが、 訳すなら ③、④になる。 L 「いつかは自分も結婚するのだろう」

(1)でなぜ2分のaにするのですか？ あと、なぜ0＜2分のa＜2になるのはなぜですか？ 教えて欲しいです🙇🏻‍♀️

基本 例題 63 定義域の一端が動く場合の関数の最大・最小 00000 αは正の定数とする。 0≦x≦a における関数 f(x)=x2-4x+5 について (1)最大値を求めよ。きの最大値を (2) 最小値を求めよ。家 CHART & SOLUTION 定義域の一端が動く場合の2次関数の最大・最小 軸と定義域の位置関係で場合分け p.107 基本事項 2 基本60 定義域が 0≦x≦a である から,文字αの値が増加する と定義域の右端が動いて, x の変域が広がっていく。 |軸 軸 区間の 右端が 動く したがって, αの値によって, 最大値と最小値をとるxの x=0x=a x=0 区間の 右端が 動く 軸 値が変わるので場合分けが必要となる。 x=a (1) y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから,軸からの距離が遠 きい (p.110 INFORMATION 参照)。 x=0 x=a

この(1)なのですが、なぜsin1/xに絶対値をつける必要があるのでしょうか。 場合分けを避けるためならXの3乗だけに絶対値を掛ければいいとおもうのですが、

基本 例題 40 1 x→0 xC 次の極限を求めよ。 ただし, [x] は実数x を超えない最大の整数を表す。 (1) limxsin 関数の極限 (4) はさみうちの原理 ①①①①① (2) [x] lim ?なぜ絶対値 x→∞ x p.69 基本事項 4 基本15 CHART & SOLUTION 求めにくい極限 はさみうちの原理を利用 (1)ssin 2/21であるから,x≠0 より 0sxsin}=\x これに、はさみうちの原理を適用。 (2) 記号[ ]はガウス記号といい, 式で表すと、次のようになる。 n≦x<n+1 (n は整数) のとき [x] == 範囲定まったら値がわかる よって [x]≦x<[x]+1 ゆえに x-1<[x]≦x 解答 77 0 ≦1 (1) Ossin 2/21 であるから,x40 より xC 0xlsin1/2x1 x lim|x|=0 であるから x→0 よって limxsin1=0 x→0 x (2) [x]≦x<[x] +1 から • よって, x>0 のとき x-1 lim =lim XC →∞ [参考] x→∞ ←x → 0 であるから, x=0 としてよい。 よってsxsin / sx \x³ |>0 x (D) limxsin121=0 x→0 x-1<[x]≦x [x-1 [x] "X ≤1 x lim [x] =1 x 1-2 =1であるから XC 81X はさみうちの原理 |A|=0⇔A=0 と同様に lim|f(x)|=0 x1a ⇔lim f(x)=0 x-a はさみうちの原理 n≦x<n+1(nは整数)のとき [x]=nであるから,y=- [x] =x 0<x<1 のとき y=1=0, 1≦x<2 のとき y=1 ぐる x 214 2≦x<3 のときy= x となることから, 右の図のようなグラフになる。 x Anie 2 y= 2-3 1 -10 1 2 2 E

右下の図の意味は理解しているのですが、 Aも、Bも2回はずれる場合は考えないのでしょうか💦 Aが2回外れて、その後にBが2回外れることは無いということでしょうか、どうかよろしくお願いします🙇‍♀️

やや複雑なくじ引きの確率 重要 例題 61 00000 当たり3本,はずれ7本のくじをA,B2人が引く。ただし、引いたくじはも とに戻さないものとする。 まずAが1本引き,はずれたときだけAがもう1本引く。次にBが1本引き, はずれたときだけBがもう1本引く。このとき,A,Bが当たりくじを引く確 率P(A),P(B) をそれぞれ求めよ。 〔類 大阪女子大 ] 基本54 CHART & SOLUTION 複雑な事象の確率 排反な事象に分解する 2章 6 Bが当たりくじを引くには,次の3つの場合がある。 [1] Aが1回目で当たり,Bが1回目か2回目に当たる。 [2] Aが1回目ははずれて 2回目で当たり,Bが1回目か2回目に当たる。 [3] Aが1回目も2回目もはずれて, Bが1回目か2回目に当たる。 本問のように複雑な事象については、変化のようすを樹形図で整理し, 樹形図に確率を書 き添えると考えやすい。 解答 ●日:A Aが1回目で当たる確率は 10 Aが1回目ではずれ, 2回目で当たる確率は (+2 エメ 3 7 = 10 9 30 これらの事象は互いに排反であるから 3 7 16 8 P(A)=- + 10 30 30 15 Bが当たりくじを引くには,次の3つの場合がある。 条件付き確率 確率の乗法定理,期待値 当たるときを ○, はずれる ときを × とすると A 2-9 BO [1] Aが1回目で当たり, Bが1回目か2回目に当たる [1] [2] Aが1回目ではずれて 2回目で当たり,Bが1回目 か2回目に当たる (注)(6)+(3) 3 0310 [3] Aが2回ともはずれて, Bが1回目か2回目に当たる [2] ×0- [1] [2] [3] は互いに排反であるから 3 P(B)= 2 7 2 + × 10\9 9 8 6/3 68 × 7 3/2 6 + × + 10 9\8 5 13 + 120 +7×0 (3+3×3 ) = 1 + + 10 9 8 32 815 27310 7 3 10 9 Q ○ 28 ○ 3-8 79 28 98 62 87 [3] xx 7 6 5 3 -87 10 9 Bの××は いらないの?

場合分けをする際、なぜこの分け方になるのでしょうか？ピンクで書いたような不等号の場合分けはなぜいらないのでしょうか？

次の方程式を解け。 (1)|3x+8|=5x CHART & SOLUTION 絶対値は 場合分け 不 (2)|x+1|+|x-1|=2x+8 基本 22 Mor (1)||= (正の定数) ではないから、 基本例題 34(1),(2)のようには解けない。 そこで a < 0 のとき |a|=-a a≧0 のとき |a|=a, により, 場合分けをして絶対値記号をはずす。 → 絶対値記号内の式3x+8が0となるxの値が場合の分かれ目になる。 なお,得られた解が場合分けの条件を満たすかどうかを必ず (2) チェックすること。 x-1<0 x-120 x+1<0x+10 解答 絶対値の中身が0より大きいか小さいかでロ (1) [1] 3x+80 すなわち x 8 3 (2)2つの絶対値記号内の式x+1, x-1が0となるxの値は, それぞれ -1, 1であるから, x<-1, -1≦x<1, 1≦x の 3つの場合に分ける。 -1 場合の分かれ目 [s] | |内の式の場合。 |3x+8|=3x+8 のとき 方程式は 3x+8=5x これを解いてx=4 ① これは x2-22 を満たす。 8 3 [2] 3x+8<0 すなわち x<-2 のとき 3 | |内の式<0 の場合。 ||3x+8|=-(3x+8) 方程式は -(3x+8)=5x これを解いて x=-1 マイナスをつける 8 0 これはx< - を満たさない。 3 したがって, 方程式の解は x=4 (2)[1] x1 のとき -(x+1)-(x-1)=2x+8 x+1<0 x-1 <0 ≤ これを解いて x=-2 これはx<-1を満たす。 [2] -1≦x<1 のとき (x+1)(x-1)=2x+8 これを解いて x=-3 これは-1≦x<1を満たさない。 (x+1)+(x-1)=2x+8 [3] 1≦x のとき 整理すると 0x=8 となり,これを満たすx は存在しない。 x=-2 したがって, 方程式の解は x+10, x-1 < 0 > x+1>0, x-1≧0 T 38であるから

（3）や（4）のような合成関数の時の定義域や値域ってどうやったらわかりますか？

28 基本 例題 11 合成関数 00000 11 関数 f(x) =2x+3,g(x)=-x2+1, h(x)= について、 次の合成関数 x-1 を求めよ。 (1)(f°g)(x) (2) gf)(x) (3) ((f°g)h) (x) (4) (f°(g°h))(x) g(x)の値域定着球に含まれるか p.26 基本事項 2 CHART & SOLUTION 合成関数 (gof) (x) (gf) (x)=g(f(x)),g の順序がポイント (1) 合成関数(f°g)(x) → (f°g)(x)=f(g(x)) g(f(x)) と間違えないように。 f(g(x))はf(x)のxにg(x) を代入。 f(x), g(x)の定義域は実数全体, f(x) の値域は実数全体, g(x) の値域は1以下の実数全体 h(x) の値域は0以外の実数全体であるから,(1)~(4)のいずれの合成関数も存在する。 解答 (1) (f°g)(x)=f(g(x))=2(-x2+1)+3=-2x²+5 (2) (gof)(x)=g(f(x))=-(2x+3)2+1=-4x²-12x-8 (3)((f-g)-h)(x)=(f-g)(h(x))=(Sg)(x) =-2(x-1)+5=(x-1)+5 (4)(g-h)(x)=g(h(x)=(x-1)+1= よって 1 (x-1)2 z+1 (f·(g·h))(x)= f((g-h)(x)) = f((x-1)²+1) Sim (1),(2)から fogg f 一般には,交換法則は成 食器立たない。 =2(x+1)+3(fog)(x)とかの 2 == (x-1)2 +5 ←(1) から linf. (f°g)(x)=-2x2+5 まず(goh)(x) を求め 240 (f°g)on=fo(goh 結合法則は常に成り立 また,これを単に ③または値は? fgんと書く。 (>21-) + jinf. 上の例題において, (hof) (x) を考えてみよう。 h(x)の定義域はx=1であるか f(x)=1のとき, (hof) (x) は定義できない。 しかし,f(x)の定義域をx≠-1 に f(x) の値域を x≠1 とすると, (hf) (x) を定義できる。 このとき, (hof) (x)=h(2x+3)=- 1 (x-1)である。 2x+2

数列で質問です 画像の（1）で、x=2n-2y と、xについて式を変形し、 y=k上にはx=2n-2y+1個の格子点が並ぶ、 という部分が理解できないです。 なぜxについて整理をしてそれに1を加えたものがy=k上の格子点の数になるのでしょうか？ 教えてください🙇‍♀️

重要 例題 28 格子点の個数 00000 次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点(x座標, y 座標がともに整数 ある点) の個数を求めよ。 ただし, n は自然数とする。 (1)x≧0,y≧0, x+2y≦2n CHART & SOLUTION (2)x0,y≦ne, y≧xe 基本 格子点の個数 直線 x=k または y=k上の格子点を求め加える 「不等式の表す領域」は数学II の第3章を参照。 n に具体的な数を代入してグラフをかき、見通しを立ててみよう。 (1) n=1のとき n=2のとき n=3 のとき YA YA x+2y=2・3 x+2y=2・2 -3 -x+2y=2・1 2 -20 -10 -10 12 x O 234 } n=1のとき 1+3+5=9, x 1+3=4, n=3のとき 1+3+5+7=16 n=2のとき 一般 (n) の場合については,境界の直線の方程式 x+2y=2n から x=2n-2y よって, 直線 y=k (k=n, n-1,......, 0) 上には (2n-2k+1) 個の格子点が並ぶ (2n-2k+1)において, k = 0, 1, ......, n とおいたものの総和が求める個数となる

左はthatの後ろが現在形なのに、右はなぜ未来形なのですか？

和文英訳クイズ 日本語を参考にして、下の空所に適切な英語を書きなさい。 健康を害して、初めてその価値に気づく。 It is [ ]. 「~して初めて・・・する」 から、 強調構文の一種である It is not until ~ that ... を使いま 値に気づく」 は、 you realize its value としましょう。 完成した英文は、 It is not until you す。 「健康を害して」 は、 総称の you を使って、 you lose your health とします。「その価 lose your health that you realize its yalue. になります。 続いて、 演習問題に進みます。 「t」の所有格 演習問題 次の日本語を英語に直しなさい。 たいていの人は、持っているものを失って初めて、そのありがたさに気づくものだ。 2 ･･･. 「~して初めて、 ･･･」 から、 It is not until that ･･･ を使います。 「たいていの人は 持っているものを失って」は関係代名詞の what を使って、 most people lose what they have とします。「そのありがたさに気づく」 は 「その重要性に気づく」 と読み換えて、they realize its importance とします。 ただし、上の構文に当てはめると、主節は「…」になる ので、「…」 に most people を使って、「~」に代名詞の they を使います。 まとめると、 is not until they lose what they have that most people realize its importance. なります。 続いて、 応用問題に進みます。 が正解に