(3)の解答で1枚目写真右下にθ≠90であるのは何故ですか？

(3) 直線 OP(P は半円上の点)を 原点を中心として回転させたとき, 直線 OP と直線×3D1 との交点T のy座標が『3 より小さくなる ような0(0=ZPOA)の範囲を 求める。 なお, tan0 については, 0キ90°であることに注意する。 (3) tan 0=/3 を解くと V3 0=60° よって,右の図から,求める0 の範囲は IT| m P 0°S0<60°, 90°<0<180° K0 A 1|x o° |60° -1

極限の収束、発散についてまとめたのですがこのような認識であっていますか？ 下の※の部分も確認していただきたいです。

収束 値んに収束 極だはa (度備はd) lim an =d h→o 正の集促大に発散 Im as =00 夜度は 0○ h>0 発散 (収束ない) 負の無限大に発赦 lim an h→0 極度は-00 こ も 振動 極度はなし (* 0は具作旅値ではないので、極限値'ではない)

この問題をどのように解くのかが分かりません。 教えていただきたいです🙇‍♂️ (約数 倍数)

全体集合を自然数全体とする。部分集合 A, B を以下に定める。 イ28 A= {z|zは 4620 の約数} B= {z|zは 66 の倍数} 以下の記号で示した集合の要素の個数を答えなさい。 ただし、無限集合の要素の個 数については「無限大」 と答えなさい。 11 (2) B 12 (3) B 13 (4) AnB 14 (5) AnB 15

(5)について質問です。解答では2が答えになっていますが、私は(3)の答えより2と4が答えだと思います。私の何が違うのでしょうか。

○2 f(z)=22 とし, 数列 {a,} を a=1, an+1=f(an) (n=1, 2, …) / によって定める。 (1) anくan+1 (n=1, 2, …) を示せ. (2) an<2(=1, 2, …) を示せ。 (3) f(z)=zをみたす:を求めよ。 (4) f(a)=aのとき, α-an+1< alog2 -(αlan) (n=D1, 2, …) 2 が成り立つことを示せ。 (5) lim an を求めよ. ただし, e>2であることは証明なしに用いてよい. n→o (大分大·医/(5)のただし書きを変更) ン し

数Ⅲです！ (2)の(イ)ってなんで3n-1はnで割らないんですか？ あんまり難しいレベルの問題じゃないので超初歩的なことだったらすみません…

数列の極限(1) 例題 89 (1) 次の無限数列の極限を調べよ. 00 5 11 V17 23 (ア) V3'V 6 -3 V 12 (イ) -1,3, -5,7,…… (2) 一般項が次の式で表される数列の極限を調べよ。 Vo mil(8) n?-n+2 (ア) 2n°+3 (イ) (n-1)(n-2) ギえ方(1) それぞれの数列の一般項 an をnの式で表し,n→0, 1 →0を用いる。 n (2) lim-=0 を利用できるように,分母の最高次の項で分母,分子を割る。 T-レ ー(最)) 3n n→o n 解答(1)一般項を an とする. 13 =V2 3n 6n-1 季用 (ア) lim an=1im =lim, 2- 3n n→ oのとき, Co |1 こ →0 n n→0 n→o n→0 ー山mよって、 (イ) an=(-1)"(2n-1) lim n→ o のとき, であるが、(-1)"より,anは正と負をくり返す。 mよって,振動する。 。 V2 に収束する. ケ こるさ まま へ 2n-1→ 0 るま でる。 1-+2 n-n+2 =lim n 1 481 n 分母の最高次の項は ケま味コ12n°より, n? で分母, 千代 やケ分子を割る。 8(2)(ア)lim 2 3 2十-2 n' 2 n→0 2n +3 n→o よって, ;に収束する。 2 の 理健と分母 (分母)=n?-3n+2 より,n°で分母, 分 (イ)、1lim (n-1)(n-2) O n→0 (2+ (3m-1) 当景の 0 子を割る。 る n 分子→1×2×○ -=8 =lim 2 分母→1×1 n→0 n =の ( よって, 正の無限大に発散する。

(2)ですが、直感的にn→∞のとき、0を∞回足してるようと思い、はさみうちの原理を使うまでもなく0だと思ったのですが、記述でははさみうちの原理を用いなければならないのでしょうか…？

の 極限 183 基本 例題105 数列の極限 (4) はさみうちの原理1 COS nπ (1) 極限 lim を求めよ。 72→00 1 (2) an= 1 n?+2 1 とするとき, liman を求めよ。 n+1 n?+n →0 4章 AD.174 基本事項 [3] 指針> 極限が直接求めにくい場合は、はさみうちの原理 の利用を考える。 14 数 はさみうちの原理 すべてのnについて anハC<b, のとき 列 lim a,=lim b,=α ならば limc,3Dα (不等式の等号がなくても成立) カー カ→ n→0 COS n元 (1) anS 77 くbnの形を作る。それには, かくれた条件 -1<cos0<1 を利用。 THAHO におき換えてみる。 11 (2) く(k=1, 2, ……, n) に着目して, a,の各項を一 n+k CHART 求めにくい極限不等式利用で はさみうち 解答 1。 1 COS nπ (1) -1%cosnπ三1であるから 各辺をnで割る。 n n n 『 lim--=0, lim =0であるから COS nT lim はさみうちの原理。 =0 2-0 n n→ n u o-4 1 (2) く(k=1, 2, …, n) であるから n*+k>n°>0 n+k n 1 1 An= n+1 n?+2 n+n 1 1 1 *n= 2 n? 各項を でおき換える。 n n n' 1 よって 0<a.<- lim =0であるから liman=0 40SlimanS0 れ→0 n→0 n→0 7 mgtamiz 検討はさみうちの原理を利用するときのポイント はさみうちの原理を用いて数列 {cn} の極限を求める場合, 次の ①, ②の2点がポイントとなる。 0 anSCnSb,を満たす2つの数列 {an}, {6,} を見つける。 2つの数列 {a}, {6,} の極限は同じ (これを αとする)。 なお, ① に関して, 数列 {an}, {bn} は定数の数列でもよい。 0, ②が満たされたとき lim c,=α (2 n→0

229の(3)(4)は途中式で何をしてるんですか？？

lim2- 8 2a=1のとき、①が疲り立つから -0 ↓-8のとき→ あ=-1 このとき、のから 229 (1) lim(5*-3*)=Dlim5* ーラトー-1 よって オ→0 X→○ 5*+1 lim 5 lim 5 4 aエ+1-b-E lim 2) エー1 ニ →1 ズ→-0 が成り立つとする。 lim(x-1)=0であるから lim(a/エ+I-b)%30 エ→ー 4 +VP+I アー+1+VP+1) ーズ = lim(3 =3 32x 3) lim 3* オ1 エ→○ 8↑× ーズ よって、2a-5=0となり b=、Za このとき (4) lim lim 1-(0.5)-2 1+(0.5)-2 ズ→ー0 ズ→-0 b_a、エ+I-、Za エー1 =D1 x-1 230 (1) lim{log10x-log10(xー1)} al、エ+T-V2) X→0 x-1 X =limlog10' al、x+I-<2(く+I+v2) (x-1(、エ+1 +2) allx+1)-2} (x-1XVエ+I+V2) a(x-1) っら, x<0として -1 X→0 Xー 1 = lim log 10 X→0

(1)でなぜf(x)ではなくf' (x) をx →無限に飛ばしているのでしょうか よろしくお願いします

-4プロセス数学Ⅲ また 86 313 y=(2r+2)e"+(x"+2x+ale" =(x*+4ェ+a+2le" lim f(x) = lim -2 く =1+0 『ー-1+0 =(2r+4)e*+(x"+4x+a+2)e" =(r+6r+a+6)e" lim f'(x) = lim -2 1- ホー1-0 よって、グラフの概形は図」のようにな。 1 関数f(x) =xV1-x* は f\ーエW- を満たすから、開数 y=f\x) のグラつは →1-0 ">0であるから, y"=0とすると +6r+d+6=0 数 マ2 この2次方程式の判別式を Dとすると 2 xが定義域の端に近づくときのfa。 関して対称である。 デ=3-1-(a+6)=3-a D>0すなわち a<3のとき, y"=0は異なる2 つの実数解をもち、その解の前後で y”の符号が 変わるから、変曲点は2個になる。 DS0すなわちaN3のとき, 常にy"20となる から、曲線は常に下に凸で、変曲点をもたない。 よって、変曲点の個数は a<3のとき2個, a23のとき 0個 限を調べることによって、 とき曲線の接線の傾きがどのような値に死。 か(または無限大に発散するか)を調くる。 (3) 関数の定義域は、 ズキ+2 とす。 x ができる。(2),(3),(4)でも同様 、関数の定義域は, 4-ズ20であるか。 f)=マ-4 =エ+-2 -2SxS2 (x) =x-2+V4-x* とすると、一2<1<)。 『()=1-2 314 (1) 関数の定義域は, 1-xz0であるから -1SxS1 おいて 1 "(x)=4 -2x 24- JA--ズ f(x) =1+ x)=xV1-rとすると、-1<x<1において 1-2x スーャー f(x) =0 とすると f"(x) =0 とすると f(x)の増減やグラ なる。 『(x)=V1-+x-2 21- V1- エート -2x 24- 4- -2x -4xVT--(1-2x). 2V1-x 4 f"(x) = 1-x (4-xV4-0 ズ x2x-3) (1-xV1- f(x) =0 とすると ズ=4- f(x) よって x*=2 f"(x) (x)=0 とすると ズ=士 のより,x20であるから fx)の増減やグラフの凹凸は,次の表の上。 エ=2 f(x) "(x) =0 とすると f(x)の増減やグラフの凹凸は, 次の表のように なる。 x=0 なる。 -2 2 2 1 0 -1 f'(x) 0 |7 変 『"(x) f(x) 0 P(x) f"(x) 0 -4|7極大 0 極小 x=V2 のとき 「x)=22 -2 また lim エ→-2- 変曲点 flx) 0 1 0 また lim ー2 lim S(x)= lim 1- lim ズーー2+0) ミエ 1 1 よって,3直 の漸近線であ 以上から,グ 関 V2 lim f'(x) = lim {1- 2-0 ミー 0 よって,グラフの形は図]のようになる。 参考 関数 f(x 極大 たすから、関 て対称である 1 2 314 次の関数のグラフの概形をかけ。 *1) y=x\1-x? (ースリ (2) y=x-2+/4-ズ ース *(3) y= x-4 (4) y=x-x-1 ヒント 314>(4) p.90 要項の 「漸近線の求め方」 も参照。 グ f{yl N」

(1)でなぜf(x)ではなくf' (x) をx →無限に飛ばしているのでしょうか よろしくお願いします

-4プロセス数学Ⅲ また 86- 313 y=(2r+2)e"+(x"+2x+ale" =(x*+4x+a+2)e* y=(2.x+4)e*+(x"+4x+a+2)e* =(x+6r+a+6)e" lim f'(x) = lim -1+0 1-2x -ズ 1-2x ー1-0 V1-ミ、 『→ エー-1+0 lim f(x) = lim エ→1-0 よって,グラフの概形は(図」のようにた。 e">0 であるから, y"=0とすると +6r+a+6=0 1 関数/(x) =xV1-xはな を満たすから、関数 y=fu 関して対称である。 2 この2次方程式の判別式をDとすると D %=D3"-1-(a+6)=3-a /mのグラフは 参考2 xが定義城の端に近くときのf\a 限を調べることによって、定義隊の端にモっ D>0すなわちa<3のとき, y"=0は異なる2 つの実数解をもち, その解の前後でy”の符号が 変わるから,変曲点は2個になる。 D<0すなわちa>3のとき, 常に y"20 となる から,曲線は常に下に凸で、 変曲点をもたない。 よって,変曲点の個数は a<3のとき2個, a>3のとき 0個 (3) 関数の定義域は, ズキ+2 とき曲線の接線の傾きが ができる。(2), (3), (4) でも同様。 関数の定義城は,4-x20であるから か(または無限大に発散するか)を調べるこ。 どのような値に近っ 「x) = とする r=ェ+ (ォ-2 -2SxS2 f(x) =x-2+V/4-x とすると、一2<1<1a S(x) =1-2 314 (1) 関数の定義域は, 1-rN0であるから -1SxS1 おいて "(x)=4- 1(x-2 1 x) = xV1-xとすると, -1<x<1において -2x -2x 2/4-x 4- VA- f(x) =1+ f(x) =0 とすると f"(x) =0 とすると f(x)の増減やグラ なる。 1-2x2 P(x)=VI-x"+xi V1-x V4- -2x 24-ズ 4-x 2V1-x -2x f"(x) = - -4xV1--(1-2x). "(x) = 2V1-x? 4 1-x (4-xV4-x ズ=4- <0 x2x°-3) (1-ポV1- f(x) f(x) =0 とすると x=2 よって f"(x) S(x) =0 とすると のより,x20 であるから f(x) ズ=2 f(x) の増減やグラフの凹凸は,次の妻のようこ "(x) =0 とすると S(x)の増減やグラフの凹凸は, 次の表のように なる。 x=0 なる。 X -2 V2 1 0 -1 f'(x) 0 f"(x) 変 f'(x) 0 0 f(x) -4|7|極大 0 f"(x) 極小 ズ=V2 のとき lim エ→-2- 変曲点 fx) =22 -2 また flx) 0 1 また lim エ→2-C lim 0 lim f'(x) = lim- ズー-2+0 ミ ズー→ 1 1 よって,3直箱 V2 lim f'(x) = li {1 エ→2-0° X の漸近線であ V- 0 エー-) よって,グラフの概形は 図]のようになる。 以上から,グ 参考 関数 f(x 極大 |0 たすから、関 て対称である 1 2 314 次の関数のグラフの概形をかけ。 *1) y=x/1-x? (ース (2) y=x-2+/4-x x3 *(3) y=2-4 ース2 ース (4) y=x--1 314>(4) p.90 要項の 「漸近線の求め方」 も参照。 ex(ズ+6ス+6+47 T-ズ

数Ⅲの極限です。写真の左と右の違いはなんですか？僕は左みたいに右をxに3代入して0分の1で0だと考えたのですが何故か解答は♾です。やり方教えてください！

A問題 A問題 217 次の極限を求めよ。 221 次の極限を求めよ。 (1) lim(3x2-6x+2) 1 x→2 メー3(x-3)2 二12-1212 ニの ニ2