2
基本例題 241 3次曲線と接線の間の面積
曲線y=x²-5x2+2x+6 とその曲線上の点(3, -6) における接線で囲まれた図
形の面積Sを求めよ。
とする。
基本 238,240 重要 247
指針
211
原点
面積を求める方針は
① グラフをかく 2 積分区間の決定 ③3 上下関係に注意
本問では,まず接線の方程式を求め, 3次曲線と接線の共有点のx座標を求める。
また、積分の計算においては,次のことを利用するとよい。
3次曲線 y=f(x)(x2の係数がα) と直線y=g(x) が x=α で接するとき,等式
f(x)-g(x)=a(x-α)*(x-β) が成り立つ。エロー (2
気に
解答
y'=3x²-10x+2であるから,接線の
方程式は
Dip
y-(-6)=(3・32-10・3+2)(x-3)
すなわち
y=-x-3Sは
この接線と曲線の共有点のx座標は,
x3-5x2+2x+6=-x-3の解である。
これから
x 3-5x2+3x+9=0 ( * )
ゆえに
(x-3)^(x+1)=0
よって
x=3, -1
したがって,図から、求める面積は
S=S², 10
{(x-5x²+2x+6)-(-x-3)}dx
......
YA
6
-3
ico
6
3
18
x
|曲線 y=f(x) 上の点
(α, f(α)) における接線の
方程式は
y=f(a)=f'(a)(x-α)
1(x)0-(2017-2
辺が
【左辺が(x-3)を因数にも
つことに注意して因数分解。
3 93 S
703230 1 -5
3 -6 -9
1 -2 -3 2013
380586
1904
1
=S_,(x-3)(x+1)dx
=S²₂ (x−3)²{(x−3) +¹)dx=S_₁ {(x-3)² + 4(x-3)²) dx (x-a)²(x-B) -
-[(x-3)" ], +4 [ {x=32], --64+ 256-04
(x-3)373
3
=(x-2)^{(x-2)-(B-α)}
= S(x-a)" dx = (x=a)^² +C
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36
7章
41
面
積
