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基本85)
の2つの飲嗣に共通に含まれる数を、小さい方から順に並べてできる場に
の一般項を求めよ。
重要 例題 93
2つの等差数列の共通項
指針▷ an=1+4(n-1) であるから, 数列{an}の初項は 1, 公差は 4,
bn=2+7 (n-1)であるから,数列{bn}の初項は2,公差は7である。
具体的に項を書き出してみると
+4は7回
+4 +4 +4 +4 +4 +4 +4
+7
{an}:1,5,9, 13, 17, 21, 25, 29 33 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, ......
37. 44,
51,
30,
58,
23.
65, ......
16.
(bn): 2, 9.
+7
+7 +7
7は4回
よって{cm):9,37,65, となり、これは初項9, 公差 28 の等差数列である。
公差 4.7 の最小公倍数
このような書き上げによって考える方法もあるが,条件を満たす数が簡単に見つからない
(相当多くの数の書き上げが必要な) 場合は非効率である。そこで, 1次不定方程式 (数学
A) の解を求める方針で解いてみよう。
共通に含まれる数が,数列{an}の第1項, 数列{bn}の第m項であるとすると
a=b₂
よって, l, m は方程式 41-3=7m-5 すなわち 41-7m=-2の整数解であるから、まず
この不定方程式を解く。 ·········
解答
a=bm とすると 4l-3=7m-5
よって
41-7m=-2...... ①
l=-4, m=-2 は ① の整数解の1つであるから
4(+4)-7(m+2)=0 →40.7m=..
11 4 7
解として,例えば, l= (kの式) が得られたら,これをa=41-3の1に代入すればよい。
ただし,kの値の範囲に注意が必要である (右ページの検討 参照)。
ゆえに
4(1+4)=7(m+2)
17 8 -14
*3 12 -21
4と7は互いに素であるから, kを整数として
l+4=7k, m+2=4k
すなわち 1=7k-4, m-4k-2
と表される。
ここで, , m は自然数であるから, 7k-4≧1 かつ 4k-2≧1
より kは自然数である。
よって, 数列{cn}の第k項は, 数列 {an} の第1項すなわち第
(7k-4) 項であり
一般項にハンクローチを代入。
4(7k-4)-3=28k-19
求める一般項は,k を n におき換えて
重要 100
(公差) = (nの係数)
(*)数列{a}の
k2018
C=28n-19
共通に含まれる奴が
の
数
をすると、
l=3.m=2とした場合は
検討 参照。
にはかつを
満たす整数であるから、自
然数である。
数列{bn}の第m項すなわ
第 ( 4k-2)項としてもよ
い。
28-1914. {C} 9-²5 ck- a + (2-1)dz - 17 75.
式:282-19:dbeta-dでardを出したら.
a = a (^-1) drifti
28
4と7の最小公倍数は
FULL
(am):1,5,9, 13, 17, 21, 25, 29, ..
であり,
{bm):2,9,16, 23, 30, . であるから
C1=9
よって, 数列{C} は初項 9, 公差 28 の等差数列であるから、
cn=9+(n-1)・28=28n-19
その一般項は
① 41-7m=-2･･････ ① を満たす整数解 (特殊解) を1つ見つける。
足 解答では,以下の手順に沿って1次不定方程式を解いている。
→例えば,「Z=-4, m=-2」, ｢l=3, m=2」 など。
簡単に見つからない場合は,互除法の計算過程を利用する。
②2 1 において ｢l=-4, m=-2」とした場合, 4(-4) -7 (-2)=-2 ･･････ ② が成り
立つから, ①-②より, 4(Z+4)=7(m+2) のように変形できる。カナ
3 4と7は互いに素であることに注目し, 1,mをんで表す。
一般に,次のことが成り立つ。
1次不定方程式と整数解 ····・・チャート式基礎からの数学A 参照。
2つの整数a,bが互いに素であるとき, ax+by=c(cは整数)の整数解の1つを
(x,y)=(p, g) とすると, すべての整数解は
x=bk+p, y=-ak+q (kは整数)
と表される。
STABSTRO 20
討l=3m=2 とした場合について
l=3m=2 とすると, 4・37･2=-2から
4(1-3)=7(m-2)
ゆえに
4と7は互いに素であるから, kを整数として
Aan=1+4(n-1)
bn=2+7(n-1)
24,7
と表される。このとき,
4(1-3)-7(m-2)=0
1-3=7k, m-2=4k すなわち l=7k+3, m=4k+2
41-3=4(7k+3)-3=28k+9..... (**)
525
となる。
ここでlとm がともに自然数となるのは, k=0, 1,2, ······
のときであるから, 数列{cn}は,
9( 28.0+9), 37(=28-1+9), 65(=28-2+9), ******
すなわち,初項 9 公差 28 の等差数列である。
したがって
Cm=9+28(n-1)=28n-19
これは(**) kn-1におき換えたものである。
解答の(*) について, lとmがともに自然数となるようなkはk=1, 2,3,.....
であるから,
nにおき換えられたのであり、上の(**) ではkをn-1におき換えなければいけない。
kを単純にnにおき換えてはいけない。
注意の値の範囲を調べて、その範囲が自然数でない場合は、範囲が自然数になるように調整
する必要があるということに注意しよう。
練習
93 2つの数列に共通に含まれる数を, 小さい方から順に並べてできる数列{cm}の一
等差数列{an}, {bn}の一般項がそれぞれ a=3n-1,bn=4n+1であるとき この
p.526 EX60,
般項を求めよ。
3章
12
等
差数列
