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346
重要
217 3次関数の極大値と極小値の差
0000
|関数f(x)=x6x+3ax-4の極大値と極小値の差が4となるとき、定数の
値を求めよ。
X=8で極小値をとるとすると
ページの例題と同じ方針で進める。x=αで極大値 x=
f(a) f(B)を実際に求めるのは面倒なので、f(α)(B)をα-Bat Bag
大値と極小値の差が4f(α)(B)=4
(B)-(+)-4αβ を利用することで, a+B, aBのみで表すことができる。
(x)=3x²-12x+3a
解答 f(x)は極大値と極小値をとるから 2次方程式(x)=0
すなわち3x12x+3a= 0 ...... ① は異なる2つの実数
解α, β (a<β) をもつ。
よって、 ①の判別式をDとすると
D>0
D=(-6)~3(3a)=9(4-a)であるから4-0
4
したがって
a<4...... ②
f(x)のxの係数が正であるから,f(x)はx=αで極大
x=βで極小となる。
f(a)-f(B)=(a³-ß³)-6(a²-B²)+3a (a-B)
=(a-B){ (a2+αB+B2)-6(a+β)+3a}
=(a-B){ (a+B)-αB-6(a+β)+3a}
①で,解と係数の関係より
よって
a+β=4, aβ=a
a-B=-2√4-a
(a-B)=(a+B)2-4aβ=42-4・a=4(4-a)
<Bより、α-β< 0 であるから
ゆえに
f(α)-f(B)=-2√4-a (42-a-6・4+3a)
今回は差を考えるので、
x
<βと定める。
α
B...
f'(x) + 0
(x) 極大極小
0
3次関数が極値をもつとき
極大値 > 極小値
②から 4-a>0
よって√4-a>0
=2√4-a{-2(4-α)}
=4(√4-a)³
44-a=(√4-a)²
f(a)-f(B)=4であるから 4(√4-a)=4
すなわち
よって
(√4-a)³=1
√4-a=1
Aa=1 の両辺を2乗し
ゆえに, 4-α=1から a=3 これは②を満たす。
て解く。
定積分を用いた計算方法
自
討
f(α)-f(B) の計算は,第7章で学習する積分法を利用すると, らくである。
(a)-f(8)=f(x)dx=3(x-a)(x-B)dx=3{-1/(a-B)"}
←p.377 基本例題 240 (1)
NE
これにα-β-2√4-a を代入して,f(a)-f(B)=4(√4-a)
となる。
の公式を利用。
関数f(x)=x+ax2+bx+c がx=αで極大値, x=βで極小値をとるとき,
17
f(a)-f(B)=1/2(B-a)となることを示せ。
[類 名古屋大]
