なんでf^n(a)を2Kと置くのですか？あと全体的にどんな操作をしてるかわかりません。

第2章 定理2.25 f(x) をェ a を含む開区間で定義された関数とし、 = f(x) f'(a) =f" (a) = = f (a) = 0, ƒ (a) が成り立つとする. (1)nが偶数のとき =0 (ii) f (a) < 0 ならばf(x) は x = a において極大値をとる (i) fm (a) > 0 ならば f(x) は x = a において極小値をとる、 (2)nが奇数のときf(a) は f(x) の極値ではない。 証明 (1) のみ示す. テイラーの定理 (2.17) によって (a + 0 (x − a)) (x − a)". f(土)-f(a)=1/21f(a+ 1 n! となる日 (0<日< 1) が存在する. (2.35) nが偶数でf* (a) > 0 とする. fm (a) = 2K とおくとき, f (x)は連続 関数だから, (a-r,a +r) においてf(" (xc) >K となる正数が存在する (2.35) により f(x)-f(a) = n! 1f(m) (a+o(x-a))(x-a)" ≧ K n! (x − a)" ≥0 となる.ここで等号が成り立つのはx=αのときだけだから, f(x)は x = a において極小値をとる. fm (a) < 0 のときも同様に示せる. 例題 2.7 f(x) = x' (e-1) が,r か調べ上

青チャ数3です。 青線で引いた部分を書く理由がわかりません。 教えてください

168 重要 例題 96 関数が極値をもたない条件 を正の定数とする。 関数 f(x)=e-ax+alogx (x>0) に対して, f(x) が極値 をもたないようなαの値の範囲を求めよ。 [類 東京電機大 指針 微分可能な関数 f(x) が極値をもつための条件は, 前ページで学んだように 基本 94.9 f(x)=0を満たす実数x が存在するかつその前後でf'(x)の符号が変わる であった。よって, f(x) が極値をもたないための条件は,上の否定を考えて あるいは f'(x) =0を満たす実数xが存在しない 常にf'(x) ≧0 または f'(x) 0 が成り立つ である。 10 →f(x) の値の変化を調べる必要がある。この問題では、f'(x)の式の中の符号がす ぐにはわからない部分を新たな関数 g(x)として,f'(x)の代わりにg(x)の値の変化 を調べるとよい。 CHART 極値をもたない条件 f(x) の値の変化に注目 f(x)=ex+alog x から f'(x)=-ae¯ax+a·· x 1 axe-ax+1) XC g(x)=-xe-x+1とすると = g'(x)=-1.e-ax-x(-ae-ax)=(ax-1)e-ax g'(x)=0(x>0) とすると, a>0から x= 1 a x 0 x≧0 におけるg(x)の増減g'(x) 表は,右のようになる。 100 + x>0,a>0であるから 分子の( )内の式を g(x)=-xe-x+1 として,g(x)の値の変 化を調べる。 (1) して 解答 極小 g(x) 1 $10 f'(x)=g(x)であり, y=g(x) x ae 1 x>0,a>0 から, x>0における各xに対し, f'(x) の符号 とg(x)の符号は一致する。 ae 0 1 I a よって, 増減表から, f(x) が極値をもたないための条件は,増減表から,常に x>0において常にg(x) ≧0が成り立つことである。 ) すなわち (1/2)-1-11220...(*) ae ゆえに a e ( &di したがって,求めるαの範囲は a≧12 JOJ g(x)≦0は起こり得ない なお,(*)では に (1/2)>0としないよう 41- 12 ae 両辺に ( 0) を掛ける。 基 関

左が問題右が答えです。a、bが求まったあとfxに代入し、積分すると思ったのですが、答えはfxの式に2が付いていました。どういう計算なのか教えてください！

z486*関数 f(x)=x+ax2+bx+2がx=-3で極大値, x=1で極小 p.212間 値をとるような定数 α, bの値を求めよ。 また、 そのときの極値を求めよ。

このように数字の間が整数ではなく分数になる時に その分数を代入するのが大変なのですが、 他に簡単にプラス・マイナスが分かる方法はありますか？

(4) 関数 y=3x-2x3-3x2 について y'=12x3-6x2-6x=6x(2x2-x-1)=6x(x-1)(2x+1) y'=0 とすると =-1/2, 0, 1 の増減表は次のようになる。 1 x -2 ... ... 0 2 y' | 0 y 52 59 5 - 16 ... 【 ... : 2 +0 0 + 10-2120 よって,この関数は x=-2で最大値5をとり, x=1で最小値-2をとる。

2枚目最後に題意が成り立つためには極値の積が負になれば良いとあるのはなぜですか？？

D 1 3a 7 αは0でない定数とする。 2つの放物線y=x2 とェ == 2a 4 の両方に接する直線がちょうど3本となるようなαの範囲を求めよ。

定積分と微分法について X=aを代入なんてしちゃっていいんですか！？ 感覚がよくわからなくて

定積分と 微分法 162 (1) 等式 Sof(t)dt=x-3x2+x+α を満たす関数 f(x) と定数 αの値を求めよ。 (2) 関数 f(x)=S(t-t-2) dt の極値を求めよ。 ポイント② Sof(t)dt はxの関数で Sof(t) dt = f(x) d dxJa (1)等式に x=a を代入して, αの値を求める。

⑴の(iii)の別解なのですが、三次関数とかでもないのにどうして増減表を使って求められるのかわかりません。あと単調増加に極値はあるものなのですか。よろしくお願いします🙇

4 次の問題について,しずかさん、れいさん,ゆうだいさんの3人が議論をしている。 問題ある学校の文化祭では、 縦8mの垂れ幕が垂直な壁にかかっていて, 垂れ幕の下端があ る人の目の高さより2m上方の位置にある。この人が壁から何m離れて見ると, この垂れ幕 の上端と下端を見込む角が最大となるか。 しずか 右図のように、 直線 l を壁として, 点Aを垂れ幕の上 端, 点Bを垂れ幕の下端, 点Dを垂れ幕を見ている人 の目の位置とした。 この垂れ幕の上端と下端を見込む角 ∠ADB の大きさを0とおいて, 0が最大となるときの 点Dの位置を求めればよい。 ・れい 0が最大となるときの点Dの位置を求めたいから,点D から直線 l に垂線 DC を下ろし、 線分 DC の長さを xm とする。そして, 三角比を使って式を作ればよい。 ゆうだい D l A 18m B 12m 角度の問題だから, 2点A, B を通り半直線 CD に接する円をかいて, 円周角の定理あるいは 円周角の定理の逆を使えばよい。 このとき、次の問いに答えよ。 (1) 図とれいさんの考えを使って問題を解くとき、次の小問に答えよ。 (i) ∠ADC= α, ∠BDC = β として, tan0 を tana, tan β を用いて表せ。 (ii) tan 0 を x を用いて表せ。 (iii) 0 が最大となるときの, tan0 と xの値をそれぞれ求めよ。 (2) 図とゆうだいさんの考えを使って問題を解くとき,この人がこの垂れ幕の上端と下端を見込 む角が最大となる位置は, ゆうだいさんのかいた円と半直線 CD との接点になることを示せ。

模範解答とは違うやり方なのですが解答として合っていますでしょうか。ちなみに、(1)、(2)は合っていて、(3)では、f(x)をaだけの式で表すことはできました。

〔4〕 (3) f(x)=x+ax²-(40+11)x+59+20 f(x)=3x²+x-4a-11. x)が極値を持つには、 +120+33>0 OK-6-√3-3<a 4 a=-6136-33 =-6±√3 -OL±√ α1-3(-10-11) f(x)=0とすると、x= 3 3 X/1111383111 +4120+33 III 3 f+ 0 0 極大 極 f(x)がx>2において極小値をとろには、 A 40+12033 > 2 〔4〕 a, b, c を実数の定数とする。 3次方程式x3+ax2+bx+c=0が虚数解 x = 2 + iをもつとき,次の問いに答えよ。 (1)b c をそれぞれを用いて表せ。 (2)3次関数 f(x) = x + ax2+bx+cのx=2における微分係数を求めよ。 (3) f(x) = x3+ax+bx+c がx>2において極小値をとるようにαの値の範 囲を定めよ。 3 √ R²+120+33 > 6+ α !" (*) (i)-6+1ののとき、 両辺2乗して+12+33 +12+36に打を満たす のは存在しな (ii) ac-6-1のとき、 (左辺)は常に正で、(右辺)は常に負なので(*)は成り立つ。 (T)(7)より、a<-6-13 完

画像で印をつけたところなのですが、どうやってもこの答えの計算と同じになりません😭 教えてほしいです💦

教科書 p.214~216 と あ 3次関数の決定 f'(x) を求めて, f'(-1) =0, f'(1)=0, f(-1)=5からa, x=αで極値をとるとは限らないから, 求めたf(x) について, x=-1で極 b, c についての連立方程式を解く。 ただし, f' (α)=0であっても f(x) は 大, x=1で極小になることを増減表により確かめる。 解答 与えられた関数を微分すると f'(x) =3x2+2ax+b x=-1, x=1で極値をとるから f(-1)=0, f'(1)=0 ■ill 4G 57% 送る 3-2a+b=0 よって これを解ぐと a=0, b=-3 3+2a+b=0 またf(-1)=5から -1+a-b+c=5 よってc=3 ゆえにf(x)=x-3x+3 ① 逆に 関数 ① が条件を満たすことを示す。 f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1) f'(x) = 0 とするとx=-1,1 関数 ① の増減表は右のようになる。 x -1 1 したがって, 関数 ① は f'(x) + 0 0 + x=-1で極大値 5 x=1で極小値1 極大 極小 f(x) 7 5 をとり、条件を満たす。 よって a=0, b=-3, c=3;極小値1圄 6 章 微分法と

解説お願いします。 写真のピンクマーカーのような条件になるのはなぜですか？ 教えていただけると嬉しいです。 よろしくお願いします。

76.点(0,1)を通り曲線 y=xaxに接する直線がちょうど2本存在す るとき, 実数a の値および2本の接線の方程式を求めよ.