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第2章 集合と命題
113 n は自然数とする。 次の命題の裏を述べよ。
p.76
(1) 四角形 ABCDが長方形ならば, 四角形 ABCD は平行四辺形である、
(2) n2 が奇数⇒nが奇数
*114 n は整数, a, b は実数とする。 次の命題を証明せよ。
(1) n2+1が奇数ならば, nは偶数である。
(2)2a+360 ならばα > 0 または6>0である。
p.77
*115が無理数であることを用いて、次の数が無理数であることを証明せよ
(1) 2-√√2
B問題
116 背理法を利用して,次のことを証明せよ。ただし,a>0 とする。
(1) αが無理数ならば, α は無理数である。
(2)が無理数ならば √3-√2 は無理数である。
*117 (1) n は整数とする。 次の命題を証明せよ。
☑
n2が3の倍数ならば, nは3の倍数である。
p. 78 9
(2)背理法を利用して,3が無理数であることを証明せよ。教p.79
例題 無理数と有理数
a,bは有理数とする。 3 が無理数であることを用いて,次の命題
13
を証明せよ。
第2章 集合と命題
39
118 a, b は有理数とする。 6 が無理数であることを用いて,次の命題を証明
☑ せよ。
√2+√36=0a=b=0
*119 次の等式を満たす有理数 g の値を 例題13の結果を用いて求めよ。
(1)(3+√3)-(2-√3) g+1-4v3=0
(2) √3-1+3=1
発展〉 「すべて」 と 「ある」 の否定
命題とその否定
命題とその否定について, 次のことが成り立つ。
pはxに関する条件とする。
命題「すべてのxについて」の否定は「あるxについて
命題「ある x につい否定 「すべてのxについて
問題
ある
CONNECT 6
「すべて」 と 「ある」 の否定
次の命題の否定を述べ, もとの命題とその否定の真偽を調べよ。
(1) すべての素数nについて, n は奇数である。
(2) ある実数xについて x2≦0
a+b√3=0a=b=0
この命題は直接証明することが難しい。 よって、背理法を利用して証明する。
まず, b=0 と仮定する。
b
よって
解答 6≠0 と仮定すると
√3=-
a
b
a
は有理数であるから,この等式は、が無理数であることに矛盾する。
b=0
b=0のとき
a030から
a=0
したがって, 命題は真である。
【?】 a+bv3=0を
考え方 「すべて」 と 「ある」 を入れ替えて結論を否定する。 命題とその否定では,真
偽が逆になる。
解答 (1) 否定は 「ある素数nについて, n は偶数である。」
2は素数であり, かつ偶数であるから,否定は真である。
否定が真であるから,もとの命題は偽である。
(2)否定は 「すべての実数xについてx>0」
x=0のときx2=0 となるから, 否定は偽である。
否定が偽であるから,もとの命題は真である。
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次の命題の否定を述べもとの命題とその否定の真偽を調べよ。
