例題 52 極限と保数決
次の等式が成り立つように、定数a, bの値を定めよ。立た
lim{√x2-2-(ax+b)}=0
8+xp+5
x→∞
8-4
候補を絞り込む
(2)
a > 0 のとき
a = 0 のとき
→b
∞∞の不定形
与えられた等式を
は-6台)]
満たすのは,
この場合のみ。
8-1
∞+∞∞
思考プロセス
la < 0 のとき
α > 0 で考える。
Action» 無理関数を含む不定形の極限は,分子または分母を有理化せよ
解 a≧0 のとき,与えられた極限は∞に発散するからa>0 lim√x2 -2 = ∞,
√x2-2-(ax + b) 0 =
(x) m
{√x²-2-(ax+b)}{√x-2+(ax+b)}
√x2-2+(ax+b)
-0-0-(1-a²)x2-2abx-(2+b²)
==
√x2 -2 +(ax+b)
x→∞
a < 0 のとき mi
lim{-(ax + b)}=∞
x→∞
a = 0 のとき
lim{-(ax + b)} = -6
x→∞
TA
よって, a≧0 のとき
(与式)。
2+62
+ (1-α2)x-2ab
x 010
2
b
1-
+a+
2
x"
x
よってx→∞ のとき,これが収束する条件は
1-α2 = 0
a>0より α = 1 であり,このときの極限値は
(+x+im{√x²-2-(ax+b)}
lim{vx2-2-(ax+b)}=∞
分子を有理化する。
x→∞より,x > 0 と考
えて、分母分子を x で
割る。
(S) SIS
8
分母のみの極限値は
lim
2
2+62
81X
x2
+a+
- 26
x
x
・26
=1+α
lim
-b
80+x
2
b
2
1
+1+
2
であるが, a>0より 0
にならない。
x
x
ゆえに
したがって
b=0
a=1,6=0
